与えられた積分 $\int \frac{\sin x}{1 + \sin x} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{\sin x}{1 + \sin x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を変形します。分子に $1$ を足して引くと、

$$$$

\int \frac{\sin x}{1 + \sin x} dx = \int \frac{1 + \sin x - 1}{1 + \sin x} dx = \int \left( 1 - \frac{1}{1 + \sin x} \right) dx

$$$$

となります。さらに、$\frac{1}{1 + \sin x}$ を変形するために、$1 - \sin x$ を分子と分母に掛けます。

$$$$

\frac{1}{1 + \sin x} = \frac{1 - \sin x}{(1 + \sin x)(1 - \sin x)} = \frac{1 - \sin x}{1 - \sin^2 x} = \frac{1 - \sin x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \sec^2 x - \sec x \tan x

$$$$

したがって、

$$$$

\int \frac{\sin x}{1 + \sin x} dx = \int \left( 1 - (\sec^2 x - \sec x \tan x) \right) dx = \int (1 - \sec^2 x + \sec x \tan x) dx

$$$$

積分を計算すると、

$$$$

\int (1 - \sec^2 x + \sec x \tan x) dx = \int 1 dx - \int \sec^2 x dx + \int \sec x \tan x dx = x - \tan x + \sec x + C

$$$$

ここで、$C$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$x - \tan x + \sec x + C$