関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + ax + 7$ が $x = -1$ で極大値をとるように、定数 $a$ の値を定め、そのときの極大値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + ax + 7$ が $x = -1$ で極大値をとるように、定数 $a$ の値を定め、そのときの極大値を求める。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ を微分して、導関数 $f'(x)$ を求める。

$f'(x) = 3x^2 - 6x + a$

$x = -1$ で極大値をとるためには、$f'(-1) = 0$ となる必要がある。

したがって、$f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) + a = 3 + 6 + a = 9 + a = 0$ より、$a = -9$。

次に、$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x - 3)(x + 1)$ となる。

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = -1$ または $x = 3$ のときである。

$x = -1$ の前後で $f'(x)$ の符号を調べると、

$x < -1$ のとき、$f'(x) > 0$

$-1 < x < 3$ のとき、$f'(x) < 0$

$x > 3$ のとき、$f'(x) > 0$

したがって、$x = -1$ で極大値、 $x = 3$ で極小値をとることがわかる。

$a = -9$ のとき、$f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 7$ である。

$x = -1$ での極大値は、$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 7 = -1 - 3 + 9 + 7 = 12$ である。

3. 最終的な答え

$a = -9$

極大値: 12