$\lim_{x \to 1} (1 - \log x)^{\frac{1}{\log x}}$ を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 1} (1 - \log x)^{\frac{1}{\log x}}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$y = \log x$ とおくと、$x \to 1$ のとき $y \to \log 1 = 0$ となります。

したがって、与えられた極限は

$\lim_{y \to 0} (1 - y)^{\frac{1}{y}}$

と書き換えられます。

この極限を計算するために、$L = \lim_{y \to 0} (1 - y)^{\frac{1}{y}}$ とおき、両辺の自然対数を取ります。

$\log L = \lim_{y \to 0} \log (1 - y)^{\frac{1}{y}} = \lim_{y \to 0} \frac{1}{y} \log (1 - y)$

ここで、$\log(1-y)$ の $y=0$ におけるテイラー展開を考えると、

$\log(1-y) = -y - \frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{3} - \cdots$

したがって、

$\log L = \lim_{y \to 0} \frac{-y - \frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{3} - \cdots}{y} = \lim_{y \to 0} \left(-1 - \frac{y}{2} - \frac{y^2}{3} - \cdots \right) = -1$

$\log L = -1$ より、 $L = e^{-1} = \frac{1}{e}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{e}$