与えられた極限 $\lim_{x\to\infty} (1+x)^{\frac{1}{x}}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた極限

$\lim_{x\to\infty} (1+x)^{\frac{1}{x}}$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を変形します。

$y = (1+x)^{\frac{1}{x}}$

両辺の自然対数を取ると、

$\ln y = \ln((1+x)^{\frac{1}{x}}) = \frac{1}{x} \ln(1+x) = \frac{\ln(1+x)}{x}$

次に、$x \to \infty$ のときの $\ln y$ の極限を求めます。

$\lim_{x\to\infty} \ln y = \lim_{x\to\infty} \frac{\ln(1+x)}{x}$

この極限は不定形 $\frac{\infty}{\infty}$ なので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x\to\infty} \frac{\ln(1+x)}{x} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{1}{1+x}}{1} = \lim_{x\to\infty} \frac{1}{1+x} = 0$

したがって、$\lim_{x\to\infty} \ln y = 0$ です。

$\lim_{x\to\infty} y = \lim_{x\to\infty} e^{\ln y} = e^{\lim_{x\to\infty} \ln y} = e^0 = 1$

3. 最終的な答え

$\lim_{x\to\infty} (1+x)^{\frac{1}{x}} = 1$