次の不定積分を計算する。 $\int \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + x + 1}} dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を計算する。

$\int \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + x + 1}} dx$

2. 解き方の手順

まず、被積分関数の分母を有理化するために、分母と分子に $x - \sqrt{x^2+x+1}$ を掛ける。

$\int \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + x + 1}} dx = \int \frac{x - \sqrt{x^2+x+1}}{(x + \sqrt{x^2 + x + 1})(x - \sqrt{x^2 + x + 1})} dx$

$= \int \frac{x - \sqrt{x^2+x+1}}{x^2 - (x^2 + x + 1)} dx = \int \frac{x - \sqrt{x^2+x+1}}{-x - 1} dx$

$= \int \frac{\sqrt{x^2+x+1} - x}{x+1} dx$

ここで、$I_1 = \int \frac{\sqrt{x^2+x+1}}{x+1}dx$ と $I_2 = \int \frac{x}{x+1}dx$ に分けて考える。

$I_1 = \int \frac{\sqrt{x^2+x+1}}{x+1}dx$ について、$x+1 = \frac{1}{t}$ と置換すると、$dx = -\frac{1}{t^2}dt$, $x = \frac{1}{t}-1 = \frac{1-t}{t}$ となる。

$I_1 = \int \frac{\sqrt{(\frac{1-t}{t})^2 + \frac{1-t}{t} + 1}}{\frac{1}{t}} (-\frac{1}{t^2}) dt = -\int \frac{\sqrt{\frac{1-2t+t^2+t-t^2+t^2}{t^2}}}{\frac{1}{t}}\frac{1}{t^2} dt = -\int \sqrt{\frac{t^2-t+1}{t^2}}t\frac{1}{t^2}dt$

$= -\int \frac{\sqrt{t^2-t+1}}{t^2}dt = -\int \frac{\sqrt{(x+1)^{-2}-(x+1)^{-1}+1}}{(x+1)^{-2}}(-(x+1)^{-2})dx$

この積分は複雑になるため、別の方法を試す。

$\sqrt{x^2+x+1} = t-x$ と置換すると、$x^2+x+1 = (t-x)^2 = t^2 - 2tx + x^2$ より、$x+1 = t^2-2tx$, $x(2t+1) = t^2-1$, $x = \frac{t^2-1}{2t+1}$ となる。

$dx = \frac{2t(2t+1) - 2(t^2-1)}{(2t+1)^2}dt = \frac{4t^2+2t - 2t^2+2}{(2t+1)^2}dt = \frac{2t^2+2t+2}{(2t+1)^2}dt = \frac{2(t^2+t+1)}{(2t+1)^2}dt$

$\sqrt{x^2+x+1} = t - x = t - \frac{t^2-1}{2t+1} = \frac{2t^2+t - t^2 + 1}{2t+1} = \frac{t^2+t+1}{2t+1}$

よって、

$\int \frac{\sqrt{x^2+x+1} - x}{x+1} dx = \int \frac{\frac{t^2+t+1}{2t+1} - \frac{t^2-1}{2t+1}}{\frac{t^2-1}{2t+1} + 1} \frac{2(t^2+t+1)}{(2t+1)^2} dt = \int \frac{\frac{t^2+t+1 - t^2+1}{2t+1}}{\frac{t^2-1+2t+1}{2t+1}} \frac{2(t^2+t+1)}{(2t+1)^2} dt = \int \frac{\frac{t+2}{2t+1}}{\frac{t^2+2t}{2t+1}} \frac{2(t^2+t+1)}{(2t+1)^2} dt = \int \frac{t+2}{t(t+2)} \frac{2(t^2+t+1)}{(2t+1)^2} dt$

$= \int \frac{2(t^2+t+1)}{t(2t+1)^2} dt = 2\int \frac{t^2+t+1}{t(4t^2+4t+1)}dt$

これは部分分数分解が必要になる。

$I_2 = \int \frac{x}{x+1}dx = \int \frac{x+1-1}{x+1}dx = \int (1-\frac{1}{x+1})dx = x - \ln|x+1| + C_2$.

被積分関数の分母を有理化せずに、$u = \sqrt{x^2+x+1}$ と置換すると、$u^2 = x^2+x+1$, $2u du = (2x+1) dx$, $dx = \frac{2u}{2x+1} du$.

$\int \frac{1}{x+u} dx = \int \frac{1}{x+u} \frac{2u}{2x+1} du = \int \frac{2u}{(x+u)(2x+1)}du$

これも困難。

$\int \frac{1}{x+\sqrt{x^2+x+1}}dx$の被積分関数は $\frac{1}{x+\sqrt{x^2+x+1}}$.

この式は積分定数$C$を用いて、$\ln|x+\sqrt{x^2+x+1}| + C$のように、$\ln$の形にはならない。

最終的な答えを求めることは難しいです。

3. 最終的な答え

解なし