$\int \frac{1}{\sin^2 x \cos x} dx$ を計算する。

1. 問題の内容

$\int \frac{1}{\sin^2 x \cos x} dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ を利用して、被積分関数を以下のように変形します。

$\frac{1}{\sin^2 x \cos x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x \cos x} = \frac{\sin^2 x}{\sin^2 x \cos x} + \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x \cos x} = \frac{1}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin^2 x}$

したがって、積分は

$\int \frac{1}{\sin^2 x \cos x} dx = \int \frac{1}{\cos x} dx + \int \frac{\cos x}{\sin^2 x} dx$

となります。それぞれの積分を計算します。

$\int \frac{1}{\cos x} dx = \int \sec x dx = \ln|\sec x + \tan x| + C_1$

$\int \frac{\cos x}{\sin^2 x} dx$ については、$u = \sin x$ と置換すると、$du = \cos x dx$ となり、

$\int \frac{\cos x}{\sin^2 x} dx = \int \frac{1}{u^2} du = -\frac{1}{u} + C_2 = -\frac{1}{\sin x} + C_2 = -\csc x + C_2$

したがって、

$\int \frac{1}{\sin^2 x \cos x} dx = \ln|\sec x + \tan x| - \csc x + C$

3. 最終的な答え

$\ln|\sec x + \tan x| - \csc x + C$