$\int \frac{x + \sin x}{1 + \cos x} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int \frac{x + \sin x}{1 + \cos x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分を2つに分けます。

$\int \frac{x + \sin x}{1 + \cos x} dx = \int \frac{x}{1 + \cos x} dx + \int \frac{\sin x}{1 + \cos x} dx$

次に、右辺の第2項の積分を計算します。

$\int \frac{\sin x}{1 + \cos x} dx$

ここで、$u = 1 + \cos x$ とおくと、$du = -\sin x dx$ となります。したがって、

$\int \frac{\sin x}{1 + \cos x} dx = \int \frac{-du}{u} = -\ln |u| + C = -\ln |1 + \cos x| + C$

$1 + \cos x$ は常に非負であるため、絶対値記号を省略して $-\ln (1 + \cos x) + C$ と書けます。

次に、右辺の第1項の積分を計算します。

$\int \frac{x}{1 + \cos x} dx$

ここで、$1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$ であることを利用します。

$\int \frac{x}{1 + \cos x} dx = \int \frac{x}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} dx = \frac{1}{2} \int x \sec^2 \frac{x}{2} dx$

ここで、部分積分法を用いて計算します。$u = x, dv = \sec^2 \frac{x}{2} dx$ とおくと、$du = dx, v = 2 \tan \frac{x}{2}$ となります。

$\frac{1}{2} \int x \sec^2 \frac{x}{2} dx = \frac{1}{2} (2x \tan \frac{x}{2} - \int 2 \tan \frac{x}{2} dx) = x \tan \frac{x}{2} - \int \tan \frac{x}{2} dx$

$\int \tan \frac{x}{2} dx = \int \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} dx$

ここで、$w = \cos \frac{x}{2}$ とおくと、$dw = -\frac{1}{2} \sin \frac{x}{2} dx$ となります。

$\int \tan \frac{x}{2} dx = \int \frac{-2 dw}{w} = -2 \ln |w| + C = -2 \ln |\cos \frac{x}{2}| + C = -2 \ln (\cos \frac{x}{2}) + C$

したがって、$\frac{1}{2} \int x \sec^2 \frac{x}{2} dx = x \tan \frac{x}{2} + 2 \ln (\cos \frac{x}{2}) + C$

これらの結果を合わせると、

$\int \frac{x + \sin x}{1 + \cos x} dx = x \tan \frac{x}{2} + 2 \ln (\cos \frac{x}{2}) - \ln (1 + \cos x) + C$

ここで、 $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$ を用いると、

$\ln (1 + \cos x) = \ln (2 \cos^2 \frac{x}{2}) = \ln 2 + 2 \ln (\cos \frac{x}{2})$

したがって、

$\int \frac{x + \sin x}{1 + \cos x} dx = x \tan \frac{x}{2} + 2 \ln (\cos \frac{x}{2}) - (\ln 2 + 2 \ln (\cos \frac{x}{2})) + C = x \tan \frac{x}{2} - \ln 2 + C$

定数項はまとめて $C$ で表せるので、$\int \frac{x + \sin x}{1 + \cos x} dx = x \tan \frac{x}{2} + C$

3. 最終的な答え

$x \tan \frac{x}{2} + C$