$\int \frac{\cos^2 x}{2 - \sin^2 x} dx$ を計算してください。

1. 問題の内容

$\int \frac{\cos^2 x}{2 - \sin^2 x} dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ を用いて被積分関数を変形します。

$\frac{\cos^2 x}{2 - \sin^2 x} = \frac{1 - \sin^2 x}{2 - \sin^2 x}$

次に、分子を分母で割ることを考えます。

$\frac{1 - \sin^2 x}{2 - \sin^2 x} = \frac{2 - \sin^2 x - 1}{2 - \sin^2 x} = 1 - \frac{1}{2 - \sin^2 x}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{\cos^2 x}{2 - \sin^2 x} dx = \int (1 - \frac{1}{2 - \sin^2 x}) dx = \int 1 dx - \int \frac{1}{2 - \sin^2 x} dx$

ここで、$\int 1 dx = x + C_1$ です。

次に、$\int \frac{1}{2 - \sin^2 x} dx$ を計算します。

分子と分母を$\cos^2 x$で割ります。

$\int \frac{1}{2 - \sin^2 x} dx = \int \frac{\frac{1}{\cos^2 x}}{\frac{2}{\cos^2 x} - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}} dx = \int \frac{\sec^2 x}{2\sec^2 x - \tan^2 x} dx$

$\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ を代入すると、

$\int \frac{\sec^2 x}{2(1 + \tan^2 x) - \tan^2 x} dx = \int \frac{\sec^2 x}{2 + \tan^2 x} dx$

ここで、$u = \tan x$ とおくと、$du = \sec^2 x dx$ となるので、

$\int \frac{\sec^2 x}{2 + \tan^2 x} dx = \int \frac{1}{2 + u^2} du = \int \frac{1}{(\sqrt{2})^2 + u^2} du$

これは $\frac{1}{a} \arctan(\frac{u}{a}) + C$ の形なので、

$\int \frac{1}{(\sqrt{2})^2 + u^2} du = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan(\frac{u}{\sqrt{2}}) + C_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}) + C_2$

したがって、

$\int \frac{\cos^2 x}{2 - \sin^2 x} dx = x - \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}) + C$

3. 最終的な答え

$x - \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}) + C$