与えられた積分を計算します。積分は以下の通りです。 $\int \frac{1}{x\sqrt{x^2-x+1}} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。積分は以下の通りです。

$\int \frac{1}{x\sqrt{x^2-x+1}} dx$

2. 解き方の手順

まず、変数変換を行います。$x = \frac{1}{t}$ とおくと、$dx = -\frac{1}{t^2}dt$となります。積分は次のようになります。

$\int \frac{1}{\frac{1}{t} \sqrt{\frac{1}{t^2} - \frac{1}{t} + 1}} (-\frac{1}{t^2})dt = \int \frac{1}{\frac{1}{t} \sqrt{\frac{1-t+t^2}{t^2}}} (-\frac{1}{t^2})dt = \int \frac{1}{\frac{1}{t} \frac{\sqrt{1-t+t^2}}{|t|}} (-\frac{1}{t^2})dt$

$t>0$とすると、

$= \int \frac{1}{\frac{1}{t} \frac{\sqrt{1-t+t^2}}{t}} (-\frac{1}{t^2})dt = \int \frac{t^2}{\sqrt{1-t+t^2}} (-\frac{1}{t^2})dt = -\int \frac{1}{\sqrt{t^2-t+1}}dt$

さらに、平方完成を行います。$t^2 - t + 1 = (t - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$ です。

$-\int \frac{1}{\sqrt{(t - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}}}dt$

ここで、$u = t - \frac{1}{2}$とおくと、$du=dt$となり、

$-\int \frac{1}{\sqrt{u^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2}}du = -\sinh^{-1}(\frac{u}{\frac{\sqrt{3}}{2}}) + C = -\sinh^{-1}(\frac{2u}{\sqrt{3}}) + C = -\sinh^{-1}(\frac{2(t - \frac{1}{2})}{\sqrt{3}}) + C = -\sinh^{-1}(\frac{2t - 1}{\sqrt{3}}) + C$

$t = \frac{1}{x}$ を代入すると、

$=-\sinh^{-1}(\frac{\frac{2}{x} - 1}{\sqrt{3}}) + C = -\sinh^{-1}(\frac{2 - x}{x\sqrt{3}}) + C$

$\sinh^{-1}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2+1})$を用いると、

$= - \ln(\frac{2-x}{x\sqrt{3}} + \sqrt{\frac{(2-x)^2}{3x^2} + 1}) + C = - \ln(\frac{2-x}{x\sqrt{3}} + \sqrt{\frac{4-4x+x^2+3x^2}{3x^2}}) + C = - \ln(\frac{2-x}{x\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{4x^2-4x+4}}{x\sqrt{3}}) + C = - \ln(\frac{2-x+2\sqrt{x^2-x+1}}{x\sqrt{3}}) + C$

3. 最終的な答え

$\displaystyle -\sinh^{-1}\left( \frac{2-x}{\sqrt{3}x} \right) + C$

または

$\displaystyle -\ln\left( \frac{2-x+2\sqrt{x^2-x+1}}{x\sqrt{3}} \right) + C$