与えられた関数 $f(x) = \frac{1}{x(1-x^3)^{3/2}}$ の積分を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = \frac{1}{x(1-x^3)^{3/2}}$ の積分を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた積分を以下のように書きます。

$\int \frac{1}{x(1-x^3)^{3/2}} dx$

置換積分を行います。$u = x^3$ とおくと、$du = 3x^2 dx$ となります。

元の積分を $x^3$ で表現できるように変形します。

$\int \frac{1}{x(1-x^3)^{3/2}} dx = \int \frac{x^2}{x^3(1-x^3)^{3/2}} dx$

ここで、$u = x^3$ とすると、$x^2 dx = \frac{1}{3} du$ となるので、積分は以下のように書き換えられます。

$\int \frac{1}{x^3 (1-x^3)^{3/2}} x^2 dx = \int \frac{1}{u (1-u)^{3/2}} \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u (1-u)^{3/2}} du$

さらに、置換積分を行います。$v = \sqrt{1-u}$ とおくと、$v^2 = 1-u$ なので、$u = 1 - v^2$ となり、$du = -2v dv$ となります。

積分は以下のように書き換えられます。

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{(1-v^2) v^3} (-2v) dv = -\frac{2}{3} \int \frac{1}{(1-v^2) v^2} dv = -\frac{2}{3} \int \frac{1}{(1-v)(1+v) v^2} dv$

部分分数分解を行います。$\frac{1}{(1-v)(1+v) v^2} = \frac{A}{1-v} + \frac{B}{1+v} + \frac{C}{v} + \frac{D}{v^2}$ とおきます。

$1 = A(1+v)v^2 + B(1-v)v^2 + C(1-v^2)v + D(1-v^2)$

$v=1$ のとき、$1 = 2A$ より $A = \frac{1}{2}$

$v=-1$ のとき、$1 = -2B$ より $B = -\frac{1}{2}$

$v=0$ のとき、$1 = D$ より $D = 1$

$v^3$ の係数について、 $0 = A - B - C$ より、 $C = A - B = \frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}) = 1$

よって、

$\frac{1}{(1-v)(1+v) v^2} = \frac{1/2}{1-v} - \frac{1/2}{1+v} + \frac{1}{v} + \frac{1}{v^2}$

$-\frac{2}{3} \int (\frac{1/2}{1-v} - \frac{1/2}{1+v} + \frac{1}{v} + \frac{1}{v^2}) dv = -\frac{2}{3} [-\frac{1}{2}\ln|1-v| - \frac{1}{2}\ln|1+v| + \ln|v| - \frac{1}{v}] + C$

$= \frac{1}{3} \ln|1-v| + \frac{1}{3} \ln|1+v| - \frac{2}{3} \ln|v| + \frac{2}{3v} + C$

$= \frac{1}{3} \ln|(1-v)(1+v)| - \frac{2}{3} \ln|v| + \frac{2}{3v} + C$

$= \frac{1}{3} \ln|1-v^2| - \frac{2}{3} \ln|v| + \frac{2}{3v} + C$

$v = \sqrt{1-u} = \sqrt{1-x^3}$ を代入して、

$= \frac{1}{3} \ln|1-(1-x^3)| - \frac{2}{3} \ln|\sqrt{1-x^3}| + \frac{2}{3\sqrt{1-x^3}} + C$

$= \frac{1}{3} \ln|x^3| - \frac{1}{3} \ln|1-x^3| + \frac{2}{3\sqrt{1-x^3}} + C$

$= \ln|x| - \frac{1}{3} \ln|1-x^3| + \frac{2}{3\sqrt{1-x^3}} + C$

3. 最終的な答え

$\ln|x| - \frac{1}{3} \ln|1-x^3| + \frac{2}{3\sqrt{1-x^3}} + C$