与えられた10個の関数について、$x=0$におけるテイラー展開（マクローリン展開）を求め、それぞれの収束域を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた10個の関数について、$x=0$におけるテイラー展開（マクローリン展開）を求め、それぞれの収束域を求める問題です。

2. 解き方の手順

以下に、各関数のマクローリン展開とその収束域を示します。

1. $cosh(x)$:

$cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

$e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^n}{n!}$

$cosh(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + ...$

収束域: $-\infty < x < \infty$

2. $sinh(x)$:

$sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$

$sinh(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} + ...$

収束域: $-\infty < x < \infty$

3. $\frac{1}{1-x}$:

$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + ...$

収束域: $|x| < 1$ すなわち $-1 < x < 1$

4. $\frac{1}{1+x}$:

$\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n = 1 - x + x^2 - x^3 + ...$

収束域: $|x| < 1$ すなわち $-1 < x < 1$

5. $log(1+x)$:

$log(1+x) = \int \frac{1}{1+x} dx = \int (\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n) dx$

$log(1+x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{n+1}}{n+1} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + ...$

収束域: $-1 < x \leq 1$

6. $\frac{1}{1+x^2}$:

$\frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + ...$

収束域: $|x^2| < 1$ すなわち $|x| < 1$ つまり $-1 < x < 1$

7. $tan^{-1}(x)$:

$tan^{-1}(x) = \int \frac{1}{1+x^2} dx = \int (\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}) dx$

$tan^{-1}(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + ...$

収束域: $|x| \leq 1$ すなわち $-1 \leq x \leq 1$

8. $e^x$:

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + ...$

収束域: $-\infty < x < \infty$

9. $sin(x)$:

$sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + ...$

収束域: $-\infty < x < \infty$

1

0. $cos(x)$:

$cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + ...$

収束域: $-\infty < x < \infty$

3. 最終的な答え

1. $cosh(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$, 収束域: $-\infty < x < \infty$

2. $sinh(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$, 収束域: $-\infty < x < \infty$

3. $\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$, 収束域: $-1 < x < 1$

4. $\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n$, 収束域: $-1 < x < 1$

5. $log(1+x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{n+1}}{n+1}$, 収束域: $-1 < x \leq 1$

6. $\frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$, 収束域: $-1 < x < 1$

7. $tan^{-1}(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$, 収束域: $-1 \leq x \leq 1$

8. $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$, 収束域: $-\infty < x < \infty$

9. $sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$, 収束域: $-\infty < x < \infty$

1

0. $cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$, 収束域: $-\infty < x < \infty$