関数 $f(x) = x^3 - 9x^2 + 24x$ の $0 \le x \le a$ における最大値を求めよ。ただし、導関数が $f'(x) = 3(x-2)(x-4)$ で与えられている。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - 9x^2 + 24x$ の $0 \le x \le a$ における最大値を求めよ。ただし、導関数が $f'(x) = 3(x-2)(x-4)$ で与えられている。

2. 解き方の手順

まず、$f'(x)$を計算し、増減表を作成する。

$f'(x) = 3x^2 - 18x + 24 = 3(x^2 - 6x + 8) = 3(x-2)(x-4)$.

$f'(x) = 0$ となる $x$ の値は、$x=2, 4$である。

増減表は以下のようになる。

$x$ | 0 | ... | 2 | ... | 4 | ...

------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | --------

$f'(x)$ | + | + | 0 | - | 0 | +

------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | --------

$f(x)$ | 0 | ↑ | 極大値 | ↓ | 極小値 | ↑

$f(0) = 0$,

$f(2) = 2^3 - 9(2^2) + 24(2) = 8 - 36 + 48 = 20$,

$f(4) = 4^3 - 9(4^2) + 24(4) = 64 - 144 + 96 = 16$.

次に、$a$ の値によって最大値がどのように変化するかを考える。

(1) $0 \le a \le 2$ のとき、最大値は $f(a) = a^3 - 9a^2 + 24a$

(2) $2 \le a \le 4$ のとき、最大値は $f(2) = 20$

(3) $4 \le a$ のとき、$f(a)$と$f(2)$を比較する必要がある。$f(a) > f(2)$になるのは、$a>4$のときである。

$f(a) > 20$となる$a$を求める。

$a^3 - 9a^2 + 24a > 20$

$a^3 - 9a^2 + 24a - 20 > 0$

$(a-2)(a^2 - 7a + 10) > 0$

$(a-2)(a-2)(a-5) > 0$

$(a-2)^2 (a-5) > 0$

$a > 5$のとき、$f(a) > 20$となる。

$f(4)=16$ であり、$f(2)=20$ であるから、$2 \le a < 5$のときは$f(2)=20$ が最大値である。

$a \ge 5$のときは、$f(a)$ が最大値となる。

したがって、

- $0 \le a \le 2$ のとき、最大値は $f(a) = a^3 - 9a^2 + 24a$.

- $2 \le a \le 5$ のとき、最大値は $f(2) = 20$.

- $a \ge 5$ のとき、最大値は $f(a) = a^3 - 9a^2 + 24a$.

問題文の形式に合わせる。

$f'(x) = 3(x-2)(x-4)$

$2 < 4$ より。

増減表を書いて $a$ の値をを変えて最大値を調べることにより、$f(x)$ の最大値は

$a^3 - 9a^2 + 24a$ ($a \le 2$のとき)

$20$ ($2 \le a \le 5$ のとき)

15 → 3

16 → 2

17 → 4

18 → 2

19 → 5

20 → 2

3. 最終的な答え

$f'(x) = 3(x-2)(x-4)$

$2 < 4$ より。

増減表を書いて $a$ の値をを変えて最大値を調べることにより、$f(x)$ の最大値は

$a^3 - 9a^2 + 24a$ ($a \le 2$のとき)

$20$ ($2 \le a \le 5$ のとき)