関数 $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2$ の極値を求める問題です。まず、導関数 $f'(x)$ を計算し、因数分解された形を求めます。次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求め、増減表を作成し、極大値と極小値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2$ の極値を求める問題です。まず、導関数 $f'(x)$ を計算し、因数分解された形を求めます。次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求め、増減表を作成し、極大値と極小値を求めます。

2. 解き方の手順

ステップ1: 導関数 $f'(x)$ を計算します。

$f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2$

$f'(x) = 12x^3 - 12x^2 - 24x$

ステップ2: $f'(x)$ を因数分解します。

$f'(x) = 12x(x^2 - x - 2)$

$f'(x) = 12x(x + 1)(x - 2)$

ステップ3: $f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$12x(x + 1)(x - 2) = 0$

$x = 0, -1, 2$

ステップ4: 増減表を作成します。

| x | ... | -1 | ... | 0 | ... | 2 | ... |

| ---- | ---- | ---- | --- | --- | ---- | -- | --- |

| f'(x)| - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | 減少 | 極小 | 増加| 極大| 減少 | 極小 | 増加 |

ステップ5: 極値を求めます。

* $x = -1$ のとき

$f(-1) = 3(-1)^4 - 4(-1)^3 - 12(-1)^2 = 3 + 4 - 12 = -5$

* $x = 0$ のとき

$f(0) = 3(0)^4 - 4(0)^3 - 12(0)^2 = 0$

* $x = 2$ のとき

$f(2) = 3(2)^4 - 4(2)^3 - 12(2)^2 = 3(16) - 4(8) - 12(4) = 48 - 32 - 48 = -32$

したがって、極大値は $0$ ($x = 0$ のとき) で、極小値は $-5$ ($x = -1$ のとき) と $-32$ ($x = 2$ のとき) です。

3. 最終的な答え

$f'(x) = 12x(x+1)(x-2)$

極大値: 0 ($x = 0$ のとき)

極小値: -5 ($x = -1$ のとき)、-32 ($x = 2$ のとき)