与えられた関数 $f(x)$ について、定義されない $x$ の値、不連続となる $x$ の値を求め、それらの $x$ の値において関数 $f(x)$ の値を再定義することで、すべての実数 $x$ で連続となるようにする。ここでは、(1)と(2)の関数について解く。 (1) $f(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{x - 3}$ (2) $f(x) = \frac{x^3}{|x|}$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ について、定義されない $x$ の値、不連続となる $x$ の値を求め、それらの $x$ の値において関数 $f(x)$ の値を再定義することで、すべての実数 $x$ で連続となるようにする。ここでは、(1)と(2)の関数について解く。

(1) $f(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{x - 3}$

(2) $f(x) = \frac{x^3}{|x|}$

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{x - 3}$ について:

- 分母がゼロになる $x$ の値を求める: $x - 3 = 0$ より $x = 3$

- $x=3$ で関数は定義されない。

- 分子を因数分解する: $x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$

- $f(x)$ を簡略化する: $f(x) = \frac{(x - 3)(x + 1)}{x - 3}$

- $x \neq 3$ のとき、$f(x) = x + 1$

- $x = 3$ における $f(x)$ の極限を求める: $\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} (x + 1) = 3 + 1 = 4$

- したがって、$x = 3$ で $f(x) = 4$ と定義すれば、すべての実数 $x$ で連続となる。

(2) 関数 $f(x) = \frac{x^3}{|x|}$ について:

- $|x|$ が $0$ になる $x$ の値を求める: $|x| = 0$ より $x = 0$

- $x=0$ で関数は定義されない。

- $x > 0$ のとき、$|x| = x$ なので、$f(x) = \frac{x^3}{x} = x^2$

- $x < 0$ のとき、$|x| = -x$ なので、$f(x) = \frac{x^3}{-x} = -x^2$

- $x = 0$ における $f(x)$ の極限を求める。

- $\lim_{x \to +0} f(x) = \lim_{x \to +0} x^2 = 0$

- $\lim_{x \to -0} f(x) = \lim_{x \to -0} -x^2 = 0$

- したがって、$x = 0$ で $f(x) = 0$ と定義すれば、すべての実数 $x$ で連続となる。

3. 最終的な答え

(1) $x = 3$ で定義されない。$x = 3$ のとき $f(3) = 4$ と定義すると、すべての実数 $x$ で連続となる。

(2) $x = 0$ で定義されない。$x = 0$ のとき $f(0) = 0$ と定義すると、すべての実数 $x$ で連続となる。