与えられた極限を計算する問題です。 $\lim_{x\to 0} (\frac{1}{x-x^2} - \frac{1}{e^2 - 1})$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算する問題です。

$\lim_{x\to 0} (\frac{1}{x-x^2} - \frac{1}{e^2 - 1})$

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を変形します。

$\frac{1}{x-x^2} - \frac{1}{e^2 - 1} = \frac{1}{x(1-x)} - \frac{1}{e^2 - 1}$

$x \to 0$のとき、$\frac{1}{x(1-x)}$は無限大に発散します。しかし、$e^2-1$は定数なので、全体として不定形になるわけではありません。単純に$x$に0を代入すると、

$\frac{1}{0(1-0)} - \frac{1}{e^2 - 1} = \frac{1}{0} - \frac{1}{e^2 - 1}$

ここで、$\frac{1}{x(1-x)}$は$x \to 0$のとき正の無限大に発散するので、

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x(1-x)} = +\infty$

したがって、

$\lim_{x\to 0} (\frac{1}{x-x^2} - \frac{1}{e^2 - 1}) = +\infty - \frac{1}{e^2 - 1} = +\infty$

3. 最終的な答え

$\infty$