与えられた10個の極限について、選択肢の中から適切な値を選びます。

以下に、問題の解答を示します。

1. 問題の内容

与えられた10個の極限について、選択肢の中から適切な値を選びます。

2. 解き方の手順

各問題について、極限を計算する手順を以下に示します。

(1) $\lim_{n \to \infty} 3(-2)^{-n} = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{(-2)^n}$

$n$ が偶数の場合、 $(-2)^n$ は正で無限大に発散し、$n$ が奇数の場合、 $(-2)^n$ は負で絶対値が無限大に発散します。いずれにしても、$\frac{3}{(-2)^n}$ は0に近づきます。

したがって、$\lim_{n \to \infty} \frac{3}{(-2)^n} = 0$。

(2) $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x - 3)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x - 3)$

$x$ が2に近づくとき、 $x - 3$ は $2 - 3 = -1$ に近づきます。

したがって、$\lim_{x \to 2} (x - 3) = -1$。

(3) $\lim_{n \to \infty} (4^n - 3^n)$

$4^n$ は $3^n$ より速く増加するため、$n$ が大きくなるにつれて、$4^n - 3^n$ は無限大に発散します。

したがって、$\lim_{n \to \infty} (4^n - 3^n) = \infty$。

(4) $\lim_{x \to 0} \log x$

$x$ が正の方向から0に近づくとき、$\log x$ は負の無限大に発散します。

したがって、$\lim_{x \to 0} \log x = -\infty$。

(5) $\lim_{x \to 5} (\sqrt{x + 4} - \sqrt{x - 4})$

$x$ が5に近づくとき、$\sqrt{x + 4} - \sqrt{x - 4}$ は $\sqrt{5 + 4} - \sqrt{5 - 4} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2$ に近づきます。

したがって、$\lim_{x \to 5} (\sqrt{x + 4} - \sqrt{x - 4}) = 2$。

(6) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin 2x}{2x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ であるため、$\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin 2x}{2x} = 2 \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = 2 \cdot 1 = 2$。

したがって、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = 2$。

(7) $\lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{1}{2})^n}{4^n + 3^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n (4^n + 3^n)} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n 4^n + 2^n 3^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{8^n + 6^n}$

$n$ が大きくなるにつれて、$8^n + 6^n$ は無限大に発散するため、$\frac{1}{8^n + 6^n}$ は0に近づきます。

したがって、$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{8^n + 6^n} = 0$。

(8) $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{2k}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^2} \sum_{k=1}^{n} k = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^2} \cdot \frac{n(n + 1)}{2} = \lim_{n \to \infty} \frac{n(n + 1)}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + n}{n^2} = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})$

$n$ が無限大に近づくとき、$\frac{1}{n}$ は0に近づきます。

したがって、$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n}) = 1$。

(9) $\lim_{n \to \infty} \cos \frac{2n - 1}{2} \pi = \lim_{n \to \infty} \cos (n\pi - \frac{\pi}{2})$

$n$ が偶数のとき、 $\cos (n\pi - \frac{\pi}{2}) = \cos (-\frac{\pi}{2}) = 0$。

$n$ が奇数のとき、 $\cos (n\pi - \frac{\pi}{2}) = \cos (\pi - \frac{\pi}{2}) = \cos (\frac{\pi}{2}) = 0$。

いずれの場合も0になるので、$\lim_{n \to \infty} \cos (n\pi - \frac{\pi}{2}) = 0$。

(10) $\lim_{x \to 1 - 0} \frac{x^2 - x}{|x - 1|}$

$x$ が1より小さい方向から1に近づくとき、$x - 1$ は負なので、 $|x - 1| = -(x - 1)$。

したがって、$\lim_{x \to 1 - 0} \frac{x^2 - x}{|x - 1|} = \lim_{x \to 1 - 0} \frac{x(x - 1)}{-(x - 1)} = \lim_{x \to 1 - 0} (-x)$。

$x$ が1に近づくとき、 $-x$ は $-1$ に近づきます。

したがって、$\lim_{x \to 1 - 0} (-x) = -1$。

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) -1

(3) $\infty$

(4) $-\infty$

(5) 2

(6) 2

(7) 0

(8) 1

(9) 0

(10) -1