以下の極限を計算します。 $\lim_{x \to -\infty} \frac{e^{-x}}{4x^{\frac{3}{2}}}(-4x-1)$

1. 問題の内容

以下の極限を計算します。

$\lim_{x \to -\infty} \frac{e^{-x}}{4x^{\frac{3}{2}}}(-4x-1)$

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を整理します。

$\lim_{x \to -\infty} \frac{e^{-x}(-4x-1)}{4x^{\frac{3}{2}}}$

$x \to -\infty$のとき、 $-x \to \infty$であることに注意します。

また、$x^{\frac{3}{2}}$は、負の数の場合定義されません。

しかし、ここで $x$ は負の無限大に近づいているので、$x = -t$とおき、$t \to \infty$とすると、

$x = -t$より、$dx = -dt$となり、

$\lim_{t \to \infty} \frac{e^{t}(4t-1)}{4(-t)^{\frac{3}{2}}}$

ここで、$(-t)^{\frac{3}{2}}$は複素数となるため、実数の範囲では極限が存在しません。

しかし、問題文に間違いがある可能性を考慮し、$x \to \infty$のときの極限を計算してみます。

$\lim_{x \to \infty} \frac{e^{-x}(-4x-1)}{4x^{\frac{3}{2}}}$

$=\lim_{x \to \infty} \frac{-4xe^{-x}-e^{-x}}{4x^{\frac{3}{2}}}$

$=\lim_{x \to \infty} \frac{-4x}{4x^{\frac{3}{2}}e^x} - \lim_{x \to \infty} \frac{1}{4x^{\frac{3}{2}}e^x}$

$=\lim_{x \to \infty} \frac{-1}{x^{\frac{1}{2}}e^x} - \lim_{x \to \infty} \frac{1}{4x^{\frac{3}{2}}e^x}$

ここで、$e^x$ は $x$ の多項式よりも早く増加するため、これらの極限は両方とも0になります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{-1}{x^{\frac{1}{2}}e^x} = 0$

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{4x^{\frac{3}{2}}e^x} = 0$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{e^{-x}(-4x-1)}{4x^{\frac{3}{2}}} = 0 - 0 = 0$

3. 最終的な答え

もし問題文が$x \to \infty$であれば、答えは0です。

もし問題文の通り$x \to -\infty$であれば、極限は存在しません。

問題文に誤りがないと仮定すると、

極限は存在しない。