与えられた積分を計算します。 $$ \int \frac{\sqrt{x(1-x)}}{x^2} dx $$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

$$\int \frac{\sqrt{x(1-x)}}{x^2} dx$$

2. 解き方の手順

まず、積分を整理します。

$$\int \frac{\sqrt{x(1-x)}}{x^2} dx = \int \frac{\sqrt{x} \sqrt{1-x}}{x^2} dx = \int \frac{\sqrt{1-x}}{x^{3/2}} dx$$

ここで、変数変換を行います。

$x = \sin^2(\theta)$ と置くと、$dx = 2\sin(\theta)\cos(\theta) d\theta$ となります。

したがって、

$\sqrt{1-x} = \sqrt{1 - \sin^2(\theta)} = \sqrt{\cos^2(\theta)} = \cos(\theta)$

$x^{3/2} = (\sin^2(\theta))^{3/2} = \sin^3(\theta)$

元の積分は、

$$\int \frac{\cos(\theta)}{\sin^3(\theta)} 2\sin(\theta)\cos(\theta) d\theta = 2 \int \frac{\cos^2(\theta)}{\sin^2(\theta)} d\theta = 2 \int \cot^2(\theta) d\theta$$

三角関数の恒等式 $\cot^2(\theta) = \csc^2(\theta) - 1$ を用いると、

$$2 \int (\csc^2(\theta) - 1) d\theta = 2 (-\cot(\theta) - \theta) + C = -2\cot(\theta) - 2\theta + C$$

ここで、$x = \sin^2(\theta)$ より、$\sin(\theta) = \sqrt{x}$ となります。

直角三角形を考えると、対辺が $\sqrt{x}$、斜辺が 1 なので、底辺は $\sqrt{1-x}$ となります。

したがって、$\cot(\theta) = \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{x}} = \sqrt{\frac{1-x}{x}}$ となります。

$\theta = \arcsin(\sqrt{x})$ なので、

$$-2\sqrt{\frac{1-x}{x}} - 2\arcsin(\sqrt{x}) + C$$

3. 最終的な答え

$$-2\sqrt{\frac{1-x}{x}} - 2\arcsin(\sqrt{x}) + C$$

または

$$-2\frac{\sqrt{x(1-x)}}{x}- 2\arcsin(\sqrt{x}) + C$$