次の不定積分を計算します。 $\int \frac{\cos^2 x}{2 - \sin^2 x} dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を計算します。

$\int \frac{\cos^2 x}{2 - \sin^2 x} dx$

2. 解き方の手順

まず、$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ を用いて被積分関数を変形します。

$\int \frac{\cos^2 x}{2 - \sin^2 x} dx = \int \frac{1 - \sin^2 x}{2 - \sin^2 x} dx$

ここで、被積分関数を次のように変形します。

$\frac{1 - \sin^2 x}{2 - \sin^2 x} = \frac{2 - \sin^2 x - 1}{2 - \sin^2 x} = 1 - \frac{1}{2 - \sin^2 x}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{\cos^2 x}{2 - \sin^2 x} dx = \int \left(1 - \frac{1}{2 - \sin^2 x}\right) dx = \int 1 dx - \int \frac{1}{2 - \sin^2 x} dx = x - \int \frac{1}{2 - \sin^2 x} dx$

次に、$\int \frac{1}{2 - \sin^2 x} dx$ を計算します。分子と分母を $\cos^2 x$ で割ります。

$\int \frac{1}{2 - \sin^2 x} dx = \int \frac{\frac{1}{\cos^2 x}}{\frac{2}{\cos^2 x} - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}} dx = \int \frac{\sec^2 x}{2 \sec^2 x - \tan^2 x} dx$

$\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ なので、

$\int \frac{\sec^2 x}{2 (1 + \tan^2 x) - \tan^2 x} dx = \int \frac{\sec^2 x}{2 + 2 \tan^2 x - \tan^2 x} dx = \int \frac{\sec^2 x}{2 + \tan^2 x} dx$

$u = \tan x$ とおくと、$du = \sec^2 x dx$ なので、

$\int \frac{\sec^2 x}{2 + \tan^2 x} dx = \int \frac{1}{2 + u^2} du = \int \frac{1}{2 + u^2} du = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right) + C = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right) + C$

したがって、

$\int \frac{\cos^2 x}{2 - \sin^2 x} dx = x - \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right) + C$

3. 最終的な答え

$x - \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right) + C$