極限 $\lim_{x \to +0} x \log x$ を求める問題です。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to +0} x \log x$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、この極限は不定形 $0 \cdot (-\infty)$ の形をしているので、ロピタルの定理を使えるように変形します。

$x \log x$ を $\frac{\log x}{\frac{1}{x}}$ と書き換えます。 このとき、$\lim_{x \to +0} \log x = -\infty$ かつ $\lim_{x \to +0} \frac{1}{x} = +\infty$ であるため、$\frac{-\infty}{\infty}$ の不定形になり、ロピタルの定理が使えます。

ロピタルの定理を適用するために、分子と分母をそれぞれ微分します。

分子の微分は

$$\frac{d}{dx} (\log x) = \frac{1}{x}$$

分母の微分は

$$\frac{d}{dx} (\frac{1}{x}) = -\frac{1}{x^2}$$

よって、

$$\lim_{x \to +0} \frac{\log x}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to +0} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to +0} \frac{1}{x} \cdot (-x^2) = \lim_{x \to +0} (-x)$$

となります。

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to +0} (-x) = 0$ なので、最終的な答えは0です。

答え：0