二つの問題があります。 (1) $y = x^2 - 2x - 3$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積を求めます。 (2) $y = 2x^2 - 6x + 6$ と $y = -3x^2 + 9x - 4$ で囲まれた図形の面積を求めます。

1. 問題の内容

二つの問題があります。

(1) $y = x^2 - 2x - 3$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積を求めます。

(2) $y = 2x^2 - 6x + 6$ と $y = -3x^2 + 9x - 4$ で囲まれた図形の面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = x^2 - 2x - 3$ と $x$ 軸との交点を求めます。

$x^2 - 2x - 3 = 0$ を解くと、$(x-3)(x+1) = 0$ より $x = 3, -1$ となります。

したがって、積分区間は $-1 \le x \le 3$ です。この区間では、$x^2 - 2x - 3 \le 0$ であるので、面積は

$S = -\int_{-1}^{3} (x^2 - 2x - 3) dx$

$S = -\left[\frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x\right]_{-1}^{3}$

$S = -\left[(9 - 9 - 9) - (-\frac{1}{3} - 1 + 3)\right]$

$S = -\left[-9 - \frac{5}{3}\right] = 9 + \frac{5}{3} = \frac{32}{3}$

(2)

まず、$2x^2 - 6x + 6 = -3x^2 + 9x - 4$ を解きます。

$5x^2 - 15x + 10 = 0$

$x^2 - 3x + 2 = 0$

$(x-1)(x-2) = 0$

$x = 1, 2$ となります。

したがって、積分区間は $1 \le x \le 2$ です。この区間では、$-3x^2 + 9x - 4 \ge 2x^2 - 6x + 6$ であるので、面積は

$S = \int_{1}^{2} ((-3x^2 + 9x - 4) - (2x^2 - 6x + 6)) dx$

$S = \int_{1}^{2} (-5x^2 + 15x - 10) dx$

$S = \left[-\frac{5}{3}x^3 + \frac{15}{2}x^2 - 10x\right]_{1}^{2}$

$S = \left[-\frac{40}{3} + 30 - 20\right] - \left[-\frac{5}{3} + \frac{15}{2} - 10\right]$

$S = -\frac{40}{3} + 10 + \frac{5}{3} - \frac{15}{2} + 10$

$S = 20 - \frac{35}{3} - \frac{15}{2} = 20 - \frac{70}{6} - \frac{45}{6} = 20 - \frac{115}{6} = \frac{120 - 115}{6} = \frac{5}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{32}{3}$

(2) $\frac{5}{6}$