以下の3つの問題について、曲線と直線、およびx軸で囲まれた部分の面積を求めます。 (1) $y = \frac{1}{2}x$, $x=5$ (2) $y = x^2 + 3$, $x=2$, $x=3$ (3) $y = -2x^2$, $x=-3$, $x=1$

はい、承知いたしました。それでは、問題を解いていきます。

1. 問題の内容

以下の3つの問題について、曲線と直線、およびx軸で囲まれた部分の面積を求めます。

(1) $y = \frac{1}{2}x$, $x=5$

(2) $y = x^2 + 3$, $x=2$, $x=3$

(3) $y = -2x^2$, $x=-3$, $x=1$

2. 解き方の手順

面積を求めるには、定積分を利用します。関数のグラフとx軸で囲まれた部分の面積は、その区間における定積分の絶対値として計算できます。

(1) $y = \frac{1}{2}x$, $x=5$

まず、x=0からx=5まで積分します。

$\int_{0}^{5} \frac{1}{2}x dx = [\frac{1}{4}x^2]_{0}^{5} = \frac{1}{4}(5^2 - 0^2) = \frac{25}{4}$

(2) $y = x^2 + 3$, $x=2$, $x=3$

x=2からx=3まで積分します。

$\int_{2}^{3} (x^2 + 3) dx = [\frac{1}{3}x^3 + 3x]_{2}^{3} = (\frac{1}{3}(3^3) + 3(3)) - (\frac{1}{3}(2^3) + 3(2)) = (9 + 9) - (\frac{8}{3} + 6) = 18 - \frac{26}{3} = \frac{54 - 26}{3} = \frac{28}{3}$

(3) $y = -2x^2$, $x=-3$, $x=1$

関数が負の値をとるため、積分の絶対値を計算します。

$\int_{-3}^{1} -2x^2 dx = [-\frac{2}{3}x^3]_{-3}^{1} = -\frac{2}{3}(1^3) - (-\frac{2}{3}(-3)^3) = -\frac{2}{3} - (-\frac{2}{3}(-27)) = -\frac{2}{3} - 18 = -\frac{2}{3} - \frac{54}{3} = -\frac{56}{3}$

面積は絶対値なので、$\frac{56}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{25}{4}$

(2) $\frac{28}{3}$

(3) $\frac{56}{3}$