与えられた積分 $\int \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} dx$ を計算します。ただし、$x>1$とします。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} dx$ を計算します。ただし、$x>1$とします。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を簡略化するために、$\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$ に $\sqrt{\frac{x-1}{x-1}}$ を掛けます。

$$\sqrt{\frac{x-1}{x+1}} = \sqrt{\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}} = \frac{x-1}{\sqrt{x^2-1}}$$

したがって、積分は次のようになります。

$$\int \frac{x-1}{\sqrt{x^2-1}} dx = \int \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} dx - \int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} dx$$

ここで、$u=x^2-1$ とおくと、$du = 2x dx$ となり、$\int \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} dx = \frac{1}{2} \int \frac{du}{\sqrt{u}} = \sqrt{u} = \sqrt{x^2-1}$ となります。

また、$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} dx = \cosh^{-1}(x)$ です。

したがって、

$$\int \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} dx = \sqrt{x^2-1} - \cosh^{-1}(x) + C$$

ここで、$C$ は積分定数です。

$\cosh^{-1}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2-1})$ なので、別の表現として、

$$\int \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} dx = \sqrt{x^2-1} - \ln(x + \sqrt{x^2-1}) + C$$

3. 最終的な答え

$$\sqrt{x^2-1} - \cosh^{-1}(x) + C$$

または

$$\sqrt{x^2-1} - \ln(x + \sqrt{x^2-1}) + C$$