与えられた積分 $\int \frac{1}{x\sqrt{2+x-x^2}}dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{1}{x\sqrt{2+x-x^2}}dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、根号の中身を平方完成します。

$2+x-x^2 = 2 - (x^2 - x) = 2 - (x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) = 2 - (x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4} - (x - \frac{1}{2})^2$

したがって、積分は

$\int \frac{1}{x\sqrt{\frac{9}{4} - (x - \frac{1}{2})^2}}dx$

ここで、$x = \frac{3}{2}\sin \theta + \frac{1}{2}$ と置換します。すると、$dx = \frac{3}{2} \cos \theta d\theta$ となり、

$\frac{9}{4} - (x - \frac{1}{2})^2 = \frac{9}{4} - (\frac{3}{2}\sin \theta)^2 = \frac{9}{4}(1 - \sin^2 \theta) = \frac{9}{4} \cos^2 \theta$

となるので、積分は

$\int \frac{\frac{3}{2}\cos \theta}{(\frac{3}{2}\sin \theta + \frac{1}{2})\sqrt{\frac{9}{4}\cos^2 \theta}} d\theta = \int \frac{\frac{3}{2}\cos \theta}{(\frac{3}{2}\sin \theta + \frac{1}{2})(\frac{3}{2}\cos \theta)} d\theta = \int \frac{1}{\frac{3}{2}\sin \theta + \frac{1}{2}} d\theta$

$= \int \frac{2}{3\sin \theta + 1} d\theta$

ここで、$t = \tan(\frac{\theta}{2})$ とおくと、$\sin \theta = \frac{2t}{1+t^2}$, $d\theta = \frac{2}{1+t^2}dt$ なので、積分は

$\int \frac{2}{3(\frac{2t}{1+t^2}) + 1} \frac{2}{1+t^2} dt = \int \frac{4}{6t + 1 + t^2} dt = 4\int \frac{1}{t^2 + 6t + 1} dt$

$= 4\int \frac{1}{(t+3)^2 - 8} dt = 4\int \frac{1}{(t+3)^2 - (2\sqrt{2})^2} dt$

$\int \frac{1}{x^2 - a^2} dx = \frac{1}{2a} \ln|\frac{x-a}{x+a}| + C$ を用いると、

$4\int \frac{1}{(t+3)^2 - (2\sqrt{2})^2} dt = 4(\frac{1}{4\sqrt{2}} \ln|\frac{t+3-2\sqrt{2}}{t+3+2\sqrt{2}}|) + C = \frac{1}{\sqrt{2}} \ln|\frac{t+3-2\sqrt{2}}{t+3+2\sqrt{2}}| + C$

$= \frac{1}{\sqrt{2}} \ln|\frac{\tan(\frac{\theta}{2})+3-2\sqrt{2}}{\tan(\frac{\theta}{2})+3+2\sqrt{2}}| + C$

$\sin \theta = \frac{2x-1}{3}$ より、$\theta = \arcsin(\frac{2x-1}{3})$ である。よって

$= \frac{1}{\sqrt{2}} \ln|\frac{\tan(\frac{1}{2}\arcsin(\frac{2x-1}{3}))+3-2\sqrt{2}}{\tan(\frac{1}{2}\arcsin(\frac{2x-1}{3}))+3+2\sqrt{2}}| + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{\sqrt{2}} \ln|\frac{\tan(\frac{1}{2}\arcsin(\frac{2x-1}{3}))+3-2\sqrt{2}}{\tan(\frac{1}{2}\arcsin(\frac{2x-1}{3}))+3+2\sqrt{2}}| + C$