与えられた極限を計算します。 $\lim_{x \to \infty} x (\frac{\pi}{2} - \arctan x)$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$\lim_{x \to \infty} x (\frac{\pi}{2} - \arctan x)$

2. 解き方の手順

$\arctan x$ の性質を利用します。$\arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$ が成り立つので、

$\frac{\pi}{2} - \arctan x = \arctan \frac{1}{x}$

したがって、与えられた極限は、

$\lim_{x \to \infty} x \arctan \frac{1}{x}$

となります。ここで、$t = \frac{1}{x}$ とおくと、$x \to \infty$ のとき、$t \to 0$ となるので、

$\lim_{t \to 0} \frac{\arctan t}{t}$

となります。これは $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使うことができます。

$\frac{d}{dt} \arctan t = \frac{1}{1+t^2}$

$\frac{d}{dt} t = 1$

したがって、

$\lim_{t \to 0} \frac{\arctan t}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{1+t^2}}{1} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{1+t^2} = \frac{1}{1+0^2} = 1$

3. 最終的な答え

1