与えられた定積分 $\int_0^1 (2+x)\sqrt{1-x^2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分 $\int_0^1 (2+x)\sqrt{1-x^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分を分配します。

$\int_0^1 (2+x)\sqrt{1-x^2} dx = \int_0^1 2\sqrt{1-x^2} dx + \int_0^1 x\sqrt{1-x^2} dx$

最初の積分 $\int_0^1 2\sqrt{1-x^2} dx$ について、 $x = \sin\theta$ と置換します。すると $dx = \cos\theta d\theta$ となり、積分範囲は $x=0$ のとき $\theta=0$, $x=1$ のとき $\theta = \frac{\pi}{2}$ となります。

よって、

$\int_0^1 2\sqrt{1-x^2} dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2\sqrt{1-\sin^2\theta}\cos\theta d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2\cos^2\theta d\theta$

$\cos^2\theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2}$ を使うと、

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} 2\cos^2\theta d\theta = 2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos(2\theta)}{2} d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1+\cos(2\theta)) d\theta = [\theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta)]_0^{\frac{\pi}{2}} = (\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin\pi) - (0 + \frac{1}{2}\sin 0) = \frac{\pi}{2}$

次の積分 $\int_0^1 x\sqrt{1-x^2} dx$ について、$u = 1-x^2$ と置換します。すると $du = -2x dx$ となり、$xdx = -\frac{1}{2}du$となります。積分範囲は $x=0$ のとき $u=1$, $x=1$ のとき $u=0$ となります。

よって、

$\int_0^1 x\sqrt{1-x^2} dx = \int_1^0 \sqrt{u}(-\frac{1}{2}du) = -\frac{1}{2}\int_1^0 u^{\frac{1}{2}}du = \frac{1}{2}\int_0^1 u^{\frac{1}{2}}du = \frac{1}{2}[\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}]_0^1 = \frac{1}{2}(\frac{2}{3} - 0) = \frac{1}{3}$

したがって、

$\int_0^1 (2+x)\sqrt{1-x^2} dx = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2} + \frac{1}{3}$