$\int_0^1 (\sin^{-1}x)^2 dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\int_0^1 (\sin^{-1}x)^2 dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x = \sin\theta$ と置換します。このとき、$dx = \cos\theta d\theta$ となります。積分範囲は、$x=0$ のとき $\theta = 0$、$x=1$ のとき $\theta = \frac{\pi}{2}$ となります。

したがって、

$\int_0^1 (\sin^{-1}x)^2 dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \theta^2 \cos\theta d\theta$

となります。

次に、部分積分を2回行います。

1回目：$u=\theta^2$, $dv = \cos\theta d\theta$ とすると、$du = 2\theta d\theta$, $v = \sin\theta$

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \theta^2 \cos\theta d\theta = [\theta^2\sin\theta]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2\theta \sin\theta d\theta = (\frac{\pi}{2})^2 - 2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \theta \sin\theta d\theta$

2回目：$u=\theta$, $dv = \sin\theta d\theta$ とすると、$du = d\theta$, $v = -\cos\theta$

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \theta \sin\theta d\theta = [-\theta\cos\theta]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} (-\cos\theta) d\theta = 0 + \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta d\theta = [\sin\theta]_0^{\frac{\pi}{2}} = 1$

したがって、

$\int_0^1 (\sin^{-1}x)^2 dx = (\frac{\pi}{2})^2 - 2(1) = \frac{\pi^2}{4} - 2$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi^2}{4} - 2$