$m$ と $n$ が自然数のとき、定積分 $\int_{0}^{2\pi} \sin(mx) \sin(nx) \, dx$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$m$ と $n$ が自然数のとき、定積分 $\int_{0}^{2\pi} \sin(mx) \sin(nx) \, dx$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

積和の公式 $\sin A \sin B = \frac{1}{2} (\cos(A-B) - \cos(A+B))$ を用いて、被積分関数を変形する。

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\sin(mx) \sin(nx) = \frac{1}{2} [\cos((m-n)x) - \cos((m+n)x)]

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したがって、積分は

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\int_{0}^{2\pi} \sin(mx) \sin(nx) \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} [\cos((m-n)x) - \cos((m+n)x)] \, dx

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場合分けを行う。

(1) $m = n$ のとき

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\int_{0}^{2\pi} \sin^2(mx) \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} [1 - \cos(2mx)] \, dx = \frac{1}{2} [x - \frac{\sin(2mx)}{2m}]_{0}^{2\pi} = \frac{1}{2} [2\pi - 0 - (0 - 0)] = \pi

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(2) $m \neq n$ のとき

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\frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} [\cos((m-n)x) - \cos((m+n)x)] \, dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{\sin((m-n)x)}{m-n} - \frac{\sin((m+n)x)}{m+n} \right]_{0}^{2\pi}

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$m$と$n$は自然数なので、$m-n$と$m+n$は整数である。

$\sin(2\pi k) = 0$ ($k$は整数)であるから

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\frac{1}{2} [0 - 0 - (0 - 0)] = 0

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以上より、$m = n$ のとき $\pi$, $m \neq n$ のとき 0 となる。

3. 最終的な答え

$m=n$ のとき $\pi$

$m \neq n$ のとき 0