定積分 $\int_{0}^{\pi} \sin^2 x \cos^4 x \, dx$ の値を求めます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\pi} \sin^2 x \cos^4 x \, dx$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、積を和に変換する公式を用いて、被積分関数を計算しやすい形に変形します。

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ と $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ を用います。

$\cos^4 x = (\cos^2 x)^2 = (\frac{1 + \cos 2x}{2})^2 = \frac{1}{4}(1 + 2\cos 2x + \cos^2 2x)$

さらに、$\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}$ を用いると、

$\cos^4 x = \frac{1}{4}(1 + 2\cos 2x + \frac{1 + \cos 4x}{2}) = \frac{1}{8}(3 + 4\cos 2x + \cos 4x)$

したがって、

$\sin^2 x \cos^4 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \cdot \frac{1}{8}(3 + 4\cos 2x + \cos 4x) = \frac{1}{16}(1 - \cos 2x)(3 + 4\cos 2x + \cos 4x)$

$= \frac{1}{16}(3 + 4\cos 2x + \cos 4x - 3\cos 2x - 4\cos^2 2x - \cos 2x \cos 4x)$

$= \frac{1}{16}(3 + \cos 2x + \cos 4x - 4\cos^2 2x - \cos 2x \cos 4x)$

ここで、$4\cos^2 2x = 4 \cdot \frac{1 + \cos 4x}{2} = 2 + 2\cos 4x$ であり、

$\cos 2x \cos 4x = \frac{1}{2}(\cos(2x+4x) + \cos(2x-4x)) = \frac{1}{2}(\cos 6x + \cos(-2x)) = \frac{1}{2}(\cos 6x + \cos 2x)$.

よって、

$\sin^2 x \cos^4 x = \frac{1}{16}(3 + \cos 2x + \cos 4x - (2 + 2\cos 4x) - \frac{1}{2}(\cos 6x + \cos 2x)) = \frac{1}{16}(1 + \frac{1}{2}\cos 2x - \cos 4x - \frac{1}{2}\cos 6x)$.

したがって、

$\int_{0}^{\pi} \sin^2 x \cos^4 x \, dx = \frac{1}{16} \int_{0}^{\pi} (1 + \frac{1}{2}\cos 2x - \cos 4x - \frac{1}{2}\cos 6x) \, dx$

$= \frac{1}{16} [x + \frac{1}{4}\sin 2x - \frac{1}{4}\sin 4x - \frac{1}{12}\sin 6x]_{0}^{\pi} = \frac{1}{16}(\pi + 0 - 0 - 0 - (0 + 0 - 0 - 0)) = \frac{\pi}{16}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{16}$