与えられた積分の計算を行います。 積分は $\int \frac{\sqrt[4]{x}}{\sqrt{x} - 1} dx$ です。

1. 問題の内容

与えられた積分の計算を行います。

積分は $\int \frac{\sqrt[4]{x}}{\sqrt{x} - 1} dx$ です。

2. 解き方の手順

まず、$x = u^4$ と置換します。すると、$dx = 4u^3 du$ となります。

この置換を積分に適用すると、次のようになります。

$\int \frac{\sqrt[4]{x}}{\sqrt{x} - 1} dx = \int \frac{u}{u^2 - 1} (4u^3) du = \int \frac{4u^4}{u^2 - 1} du$

ここで、被積分関数 $\frac{4u^4}{u^2 - 1}$ を部分分数分解します。

割り算を行うと、

$\frac{4u^4}{u^2 - 1} = 4u^2 + 4 + \frac{4}{u^2 - 1}$

さらに、$\frac{4}{u^2 - 1}$ を部分分数分解します。

$\frac{4}{u^2 - 1} = \frac{4}{(u-1)(u+1)} = \frac{A}{u-1} + \frac{B}{u+1}$

$4 = A(u+1) + B(u-1)$

$u = 1$ のとき、$4 = 2A$ なので $A = 2$

$u = -1$ のとき、$4 = -2B$ なので $B = -2$

したがって、

$\frac{4}{u^2 - 1} = \frac{2}{u-1} - \frac{2}{u+1}$

よって、

$\frac{4u^4}{u^2 - 1} = 4u^2 + 4 + \frac{2}{u-1} - \frac{2}{u+1}$

これを積分します。

$\int (4u^2 + 4 + \frac{2}{u-1} - \frac{2}{u+1}) du = \frac{4}{3}u^3 + 4u + 2\ln|u-1| - 2\ln|u+1| + C$

$= \frac{4}{3}u^3 + 4u + 2\ln|\frac{u-1}{u+1}| + C$

ここで、$u = \sqrt[4]{x}$ を代入します。

$\frac{4}{3}(\sqrt[4]{x})^3 + 4\sqrt[4]{x} + 2\ln|\frac{\sqrt[4]{x}-1}{\sqrt[4]{x}+1}| + C = \frac{4}{3}x^{3/4} + 4x^{1/4} + 2\ln|\frac{x^{1/4}-1}{x^{1/4}+1}| + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{\sqrt[4]{x}}{\sqrt{x} - 1} dx = \frac{4}{3}x^{3/4} + 4x^{1/4} + 2\ln|\frac{x^{1/4}-1}{x^{1/4}+1}| + C$