問題2の(1)は、$I = \int \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} dx$と$J = \int \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} dx$を求める問題です。

1. 問題の内容

問題2の(1)は、$I = \int \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} dx$と$J = \int \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} dx$を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$I + J$と$I - J$を計算します。

$I + J = \int \frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x} dx = \int 1 dx = x + C_1$

$I - J = \int \frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x} dx$

ここで、$u = \sin x + \cos x$と置換すると、$du = (\cos x - \sin x) dx = -(\sin x - \cos x) dx$となります。したがって、

$I - J = \int \frac{-du}{u} = - \ln |u| + C_2 = - \ln |\sin x + \cos x| + C_2$

$I + J = x + C_1$

$I - J = - \ln |\sin x + \cos x| + C_2$

これらの連立方程式を解きます。$I$を求めるためには、2つの式を足して2で割ります。

$2I = x - \ln |\sin x + \cos x| + C_1 + C_2$

$I = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \ln |\sin x + \cos x| + C_3$ (ここで、$C_3 = (C_1 + C_2) / 2$)

同様に、$J$を求めるためには、2つの式を引き算して2で割ります。

$2J = x + \ln |\sin x + \cos x| + C_1 - C_2$

$J = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \ln |\sin x + \cos x| + C_4$ (ここで、$C_4 = (C_1 - C_2) / 2$)

3. 最終的な答え

$I = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \ln |\sin x + \cos x| + C_3$

$J = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \ln |\sin x + \cos x| + C_4$