$I = \int \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} dx$ と $J = \int \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

$I = \int \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} dx$ と $J = \int \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$I$ と $J$ の和と差を計算します。

$I + J = \int \frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x} dx = \int 1 dx = x + C_1$

$I - J = \int \frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x} dx$

ここで $u = \sin x + \cos x$ とおくと、 $du = (\cos x - \sin x) dx = -(\sin x - \cos x) dx$ となるので、

$I - J = \int \frac{-du}{u} = -\int \frac{1}{u} du = -\ln |u| + C_2 = -\ln |\sin x + \cos x| + C_2$

したがって、

$I + J = x + C_1$

$I - J = -\ln |\sin x + \cos x| + C_2$

これらの式を連立させて、$I$ と $J$ を求める。

$2I = x - \ln |\sin x + \cos x| + C_1 + C_2$

$I = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \ln |\sin x + \cos x| + \frac{C_1 + C_2}{2}$

$2J = x + \ln |\sin x + \cos x| + C_1 - C_2$

$J = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \ln |\sin x + \cos x| + \frac{C_1 - C_2}{2}$

定数部分をそれぞれ $C_I$ と $C_J$ で表すと、

$I = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \ln |\sin x + \cos x| + C_I$

$J = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \ln |\sin x + \cos x| + C_J$

3. 最終的な答え

$I = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \ln |\sin x + \cos x| + C_I$

$J = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \ln |\sin x + \cos x| + C_J$