$I = \int e^{ax} \sin bx \, dx$ と $J = \int e^{ax} \cos bx \, dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

$I = \int e^{ax} \sin bx \, dx$ と $J = \int e^{ax} \cos bx \, dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて、$I$ と $J$ を計算する。

まず、$I = \int e^{ax} \sin bx \, dx$ について、部分積分を適用する。

$u = \sin bx$, $dv = e^{ax} dx$ とすると、$du = b \cos bx \, dx$, $v = \frac{1}{a} e^{ax}$ となる。

したがって、

$$I = \frac{1}{a} e^{ax} \sin bx - \int \frac{1}{a} e^{ax} (b \cos bx) \, dx = \frac{1}{a} e^{ax} \sin bx - \frac{b}{a} \int e^{ax} \cos bx \, dx = \frac{1}{a} e^{ax} \sin bx - \frac{b}{a} J$$

次に、$J = \int e^{ax} \cos bx \, dx$ について、部分積分を適用する。

$u = \cos bx$, $dv = e^{ax} dx$ とすると、$du = -b \sin bx \, dx$, $v = \frac{1}{a} e^{ax}$ となる。

したがって、

$$J = \frac{1}{a} e^{ax} \cos bx - \int \frac{1}{a} e^{ax} (-b \sin bx) \, dx = \frac{1}{a} e^{ax} \cos bx + \frac{b}{a} \int e^{ax} \sin bx \, dx = \frac{1}{a} e^{ax} \cos bx + \frac{b}{a} I$$

これにより、以下の連立方程式を得る。

$$I = \frac{1}{a} e^{ax} \sin bx - \frac{b}{a} J$$

$$J = \frac{1}{a} e^{ax} \cos bx + \frac{b}{a} I$$

これらの式から $I$ と $J$ を解く。最初の式を $aI = e^{ax} \sin bx - bJ$ と変形し、2番目の式を $aJ = e^{ax} \cos bx + bI$ と変形する。

$aI = e^{ax} \sin bx - bJ$ に $J = \frac{1}{a} e^{ax} \cos bx + \frac{b}{a} I$ を代入すると、

$$aI = e^{ax} \sin bx - b \left( \frac{1}{a} e^{ax} \cos bx + \frac{b}{a} I \right) = e^{ax} \sin bx - \frac{b}{a} e^{ax} \cos bx - \frac{b^2}{a} I$$

$$a^2 I = a e^{ax} \sin bx - b e^{ax} \cos bx - b^2 I$$

$$(a^2 + b^2) I = e^{ax} (a \sin bx - b \cos bx)$$

$$I = \frac{e^{ax} (a \sin bx - b \cos bx)}{a^2 + b^2} + C_1$$

次に、$aJ = e^{ax} \cos bx + bI$ に $I = \frac{1}{a} e^{ax} \sin bx - \frac{b}{a} J$ を代入すると、

$$aJ = e^{ax} \cos bx + b \left( \frac{1}{a} e^{ax} \sin bx - \frac{b}{a} J \right) = e^{ax} \cos bx + \frac{b}{a} e^{ax} \sin bx - \frac{b^2}{a} J$$

$$a^2 J = a e^{ax} \cos bx + b e^{ax} \sin bx - b^2 J$$

$$(a^2 + b^2) J = e^{ax} (a \cos bx + b \sin bx)$$

$$J = \frac{e^{ax} (a \cos bx + b \sin bx)}{a^2 + b^2} + C_2$$

3. 最終的な答え

$I = \int e^{ax} \sin bx \, dx = \frac{e^{ax} (a \sin bx - b \cos bx)}{a^2 + b^2} + C_1$

$J = \int e^{ax} \cos bx \, dx = \frac{e^{ax} (a \cos bx + b \sin bx)}{a^2 + b^2} + C_2$