与えられた定積分 $\int_0^2 (4 - x^2)^{3/2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分 $\int_0^2 (4 - x^2)^{3/2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、三角関数置換 $x = 2\sin\theta$ を行います。このとき、$dx = 2\cos\theta d\theta$ となり、積分範囲は $x = 0$ のとき $\theta = 0$ 、$x = 2$ のとき $\theta = \frac{\pi}{2}$ となります。

与えられた積分は、

$\int_0^2 (4 - x^2)^{3/2} dx = \int_0^{\pi/2} (4 - 4\sin^2\theta)^{3/2} (2\cos\theta) d\theta$

$= \int_0^{\pi/2} (4\cos^2\theta)^{3/2} (2\cos\theta) d\theta$

$= \int_0^{\pi/2} 8\cos^3\theta (2\cos\theta) d\theta$

$= 16 \int_0^{\pi/2} \cos^4\theta d\theta$

$\cos^4\theta$ を計算するために、以下の公式を利用します。

$\cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$

$\cos^4\theta = (\cos^2\theta)^2 = \left(\frac{1 + \cos(2\theta)}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} (1 + 2\cos(2\theta) + \cos^2(2\theta))$

$\cos^2(2\theta) = \frac{1 + \cos(4\theta)}{2}$ なので、

$\cos^4\theta = \frac{1}{4} \left(1 + 2\cos(2\theta) + \frac{1 + \cos(4\theta)}{2}\right) = \frac{1}{4} \left(\frac{3}{2} + 2\cos(2\theta) + \frac{1}{2}\cos(4\theta)\right) = \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos(2\theta) + \frac{1}{8}\cos(4\theta)$

したがって、

$16 \int_0^{\pi/2} \cos^4\theta d\theta = 16 \int_0^{\pi/2} \left(\frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos(2\theta) + \frac{1}{8}\cos(4\theta)\right) d\theta$

$= 16 \left[\frac{3}{8}\theta + \frac{1}{4}\sin(2\theta) + \frac{1}{32}\sin(4\theta)\right]_0^{\pi/2}$

$= 16 \left[\left(\frac{3}{8} \cdot \frac{\pi}{2} + \frac{1}{4}\sin(\pi) + \frac{1}{32}\sin(2\pi)\right) - \left(0 + 0 + 0\right)\right]$

$= 16 \left(\frac{3\pi}{16} + 0 + 0\right)$

$= 3\pi$

3. 最終的な答え

$3\pi$