$a, b > 0$ のとき、極限 $\lim_{x \to 0} \left( \frac{a^x + b^x}{2} \right)^{1/x}$ を求めます。

1. 問題の内容

$a, b > 0$ のとき、極限 $\lim_{x \to 0} \left( \frac{a^x + b^x}{2} \right)^{1/x}$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$y = \left( \frac{a^x + b^x}{2} \right)^{1/x}$ とおきます。

両辺の自然対数をとると、

$\ln y = \frac{1}{x} \ln \left( \frac{a^x + b^x}{2} \right)$

$x \to 0$ のとき、$\frac{a^x + b^x}{2} \to \frac{1+1}{2} = 1$ なので、$\ln(\frac{a^x + b^x}{2}) \to 0$ となり、$\ln y$ は $\frac{0}{0}$ の不定形になります。

そこで、ロピタルの定理を使うため、$\ln y$ を書き換えます。

$\lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{\ln \left( \frac{a^x + b^x}{2} \right)}{x}$

ロピタルの定理より、

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln \left( \frac{a^x + b^x}{2} \right)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\frac{a^x + b^x}{2}} \cdot \frac{a^x \ln a + b^x \ln b}{2}}{1}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{2}{a^x + b^x} \cdot \frac{a^x \ln a + b^x \ln b}{2}$

$= \frac{2}{1 + 1} \cdot \frac{\ln a + \ln b}{2} = \frac{\ln a + \ln b}{2} = \frac{\ln (ab)}{2} = \ln \sqrt{ab}$

したがって、$\lim_{x \to 0} \ln y = \ln \sqrt{ab}$ より、$\lim_{x \to 0} y = \sqrt{ab}$ となります。

3. 最終的な答え

$\sqrt{ab}$