定積分 $\int_{-1}^3 |x| dx$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^3 |x| dx$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

絶対値記号を外すために積分区間を分けます。

$|x|$ は $x < 0$ のとき $-x$, $x \geq 0$ のとき $x$ となります。

したがって、積分は次のように分割できます。

$\int_{-1}^3 |x| dx = \int_{-1}^0 (-x) dx + \int_0^3 x dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int_{-1}^0 (-x) dx = [-\frac{1}{2}x^2]_{-1}^0 = -\frac{1}{2}(0^2) - (-\frac{1}{2}(-1)^2) = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$\int_0^3 x dx = [\frac{1}{2}x^2]_0^3 = \frac{1}{2}(3^2) - \frac{1}{2}(0^2) = \frac{9}{2} - 0 = \frac{9}{2}$

したがって、

$\int_{-1}^3 |x| dx = \frac{1}{2} + \frac{9}{2} = \frac{10}{2} = 5$

3. 最終的な答え

5