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逆正接関数 $\tan^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{3}})$ の値を求める問題です。

解析学逆三角関数tan^{-1}三角関数値域
2025/5/30

1. 問題の内容

逆正接関数 tan⁡−1(−13)\tan^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{3}}) の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

tan⁡−1(x)\tan^{-1}(x) は、tan⁡(θ)=x\tan(\theta) = x となるような θ\theta の値を求める関数です。ただし、tan⁡−1(x)\tan^{-1}(x) の値域は (−π2,π2)(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) です。
与えられた問題では、x=−13x = -\frac{1}{\sqrt{3}} です。
したがって、tan⁡(θ)=−13\tan(\theta) = -\frac{1}{\sqrt{3}} となるような θ\theta を探します。
tan⁡(π6)=13\tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}} であることは既知です。タンジェント関数は奇関数なので、tan⁡(−π6)=−13\tan(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}} となります。
−π6-\frac{\pi}{6} は、(−π2,π2)(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) の範囲内にあるので、
tan⁡−1(−13)=−π6\tan^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{\pi}{6}
となります。

3. 最終的な答え

−π6-\frac{\pi}{6}

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