$\cos(\arcsin(\frac{2}{3}))$ の値を求めます。

## 問題2(1)

1. 問題の内容

$\cos(\arcsin(\frac{2}{3}))$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

$\theta = \arcsin(\frac{2}{3})$ とおきます。

このとき、$\sin(\theta) = \frac{2}{3}$ であり、$-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ を満たします。

$\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1$ を用いると、

$\cos^2(\theta) = 1 - \sin^2(\theta) = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

となります。

したがって、$\cos(\theta) = \pm \sqrt{\frac{5}{9}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$ です。

$-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ であるので、$\cos(\theta) \ge 0$ です。

よって、$\cos(\theta) = \frac{\sqrt{5}}{3}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

## 問題2(2)

1. 問題の内容

$\arcsin(\cos(\frac{2}{3}))$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

$x = \arcsin(\cos(\frac{2}{3}))$ とおきます。

$\cos(\frac{2}{3}) = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{2}{3})$ と変形できます。

したがって、$x = \arcsin(\sin(\frac{\pi}{2} - \frac{2}{3}))$ です。

$\arcsin$ の定義域は $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ なので、$-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{2} - \frac{2}{3} \le \frac{\pi}{2}$ であることを確認します。

$\frac{\pi}{2} - \frac{2}{3} \approx 1.57 - 0.67 = 0.90$ なので、条件を満たします。

よって、$x = \frac{\pi}{2} - \frac{2}{3}$ です。

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2} - \frac{2}{3}$