問題は、区間 $0 < x < \frac{\pi}{2}$ において、不等式 $\frac{2}{\pi}x < \sin x < x$ が成り立つことを示すことです。

1. 問題の内容

問題は、区間 $0 < x < \frac{\pi}{2}$ において、不等式 $\frac{2}{\pi}x < \sin x < x$ が成り立つことを示すことです。

2. 解き方の手順

まず、不等式 $\sin x < x$ を示します。

関数 $f(x) = x - \sin x$ を定義します。

$f'(x) = 1 - \cos x$ となります。

区間 $0 < x < \frac{\pi}{2}$ において、$\cos x < 1$ であるため、$f'(x) > 0$ が成り立ちます。

したがって、$f(x)$ は区間 $0 < x < \frac{\pi}{2}$ において単調増加です。

また、$f(0) = 0 - \sin 0 = 0$ です。

よって、区間 $0 < x < \frac{\pi}{2}$ において、$f(x) > 0$ となり、$x - \sin x > 0$ が成り立ちます。

したがって、$\sin x < x$ が示されました。

次に、不等式 $\frac{2}{\pi}x < \sin x$ を示します。

関数 $g(x) = \sin x - \frac{2}{\pi}x$ を定義します。

$g'(x) = \cos x - \frac{2}{\pi}$ となります。

$g''(x) = -\sin x$ となります。

区間 $0 < x < \frac{\pi}{2}$ において、$g''(x) < 0$ であるため、$g'(x)$ は単調減少です。

また、$g(0) = \sin 0 - \frac{2}{\pi} \cdot 0 = 0$ であり、$g(\frac{\pi}{2}) = \sin \frac{\pi}{2} - \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} = 1 - 1 = 0$ です。

平均値の定理より、ある $c \in (0, \frac{\pi}{2})$ が存在して、$g'(c) = \frac{g(\frac{\pi}{2}) - g(0)}{\frac{\pi}{2} - 0} = \frac{0 - 0}{\frac{\pi}{2}} = 0$ となります。

つまり、$\cos c = \frac{2}{\pi}$ となる $c$ が存在します。

$g'(x)$ は単調減少であるため、$0 < x < c$ で $g'(x) > 0$、 $c < x < \frac{\pi}{2}$ で $g'(x) < 0$ となります。

したがって、$g(x)$ は $x=c$ で最大値を持ちます。

$g(0) = 0$ であり、$g(\frac{\pi}{2}) = 0$ であるため、区間 $0 < x < \frac{\pi}{2}$ において、$g(x) > 0$ が成り立ちます。

したがって、$\sin x > \frac{2}{\pi}x$ が示されました。

以上の議論から、区間 $0 < x < \frac{\pi}{2}$ において、$\frac{2}{\pi}x < \sin x < x$ が成り立つことが示されました。

3. 最終的な答え

区間 $0 < x < \frac{\pi}{2}$ において、$\frac{2}{\pi}x < \sin x < x$ が成り立つ。