与えられた関数の導関数を求めます。ここでは、問題(5) $e^{x^x}$ の導関数を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数の導関数を求めます。ここでは、問題(5) $e^{x^x}$ の導関数を求めます。

2. 解き方の手順

$y = e^{x^x}$ とします。両辺の自然対数をとると、

$\log y = \log e^{x^x} = x^x \log e = x^x$

となります。ここで、 $z = x^x$ とおくと、$\log z = x \log x$となります。

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{z} \frac{dz}{dx} = \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

したがって、

$\frac{dz}{dx} = z (\log x + 1) = x^x (\log x + 1)$

よって、$\frac{d}{dx} (x^x) = x^x (\log x + 1)$

次に、$\log y = x^x$ の両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^x) = x^x(\log x + 1)$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = y x^x(\log x + 1) = e^{x^x} x^x (\log x + 1)$

3. 最終的な答え

$e^{x^x} x^x (\log x + 1)$