$x > 0$ のとき、不等式 $x \log x \geq x - 1$ を証明します。ここで、$\log$ は自然対数（底が $e$）を表すものとします。

1. 問題の内容

$x > 0$ のとき、不等式 $x \log x \geq x - 1$ を証明します。ここで、$\log$ は自然対数（底が $e$）を表すものとします。

2. 解き方の手順

関数 $f(x) = x \log x - (x - 1)$ を定義し、$x > 0$ における $f(x)$ の最小値を求めます。

まず、$f(x)$ の導関数を計算します。

$f'(x) = \frac{d}{dx} (x \log x - x + 1) = \log x + x \cdot \frac{1}{x} - 1 = \log x + 1 - 1 = \log x$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$\log x = 0$ より、$x = e^0 = 1$

次に、$f''(x)$ を計算します。

$f''(x) = \frac{d}{dx} (\log x) = \frac{1}{x}$

$x > 0$ なので、$f''(x) > 0$ です。したがって、$f(x)$ は $x > 0$ で下に凸な関数です。

$x = 1$ のとき、$f'(1) = \log 1 = 0$ であり、$f''(1) = 1 > 0$ なので、$x = 1$ は $f(x)$ の極小値を与える点です。

下に凸な関数であるため、$x = 1$ で極小値かつ最小値を取ります。

$f(1) = 1 \cdot \log 1 - (1 - 1) = 1 \cdot 0 - 0 = 0$

したがって、$x > 0$ において $f(x) \geq 0$ が成り立ちます。

つまり、$x \log x - (x - 1) \geq 0$ より、$x \log x \geq x - 1$

3. 最終的な答え

$x > 0$ において、$x \log x \geq x - 1$ は成り立つ。