与えられた6つの関数をそれぞれ $x$ で微分する問題です。

1. 問題の内容

与えられた6つの関数をそれぞれ $x$ で微分する問題です。

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin(2x^3 + x^2)$ の微分

合成関数の微分を利用します。$u = 2x^3 + x^2$ とおくと、$y = \sin(u)$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \cos(u)$

$\frac{du}{dx} = 6x^2 + 2x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \cos(2x^3 + x^2) \cdot (6x^2 + 2x) = (6x^2+2x)\cos(2x^3+x^2)$

(2) $y = \cos(3x + \pi)$ の微分

これも合成関数の微分を利用します。$u = 3x + \pi$ とおくと、$y = \cos(u)$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = -\sin(u)$

$\frac{du}{dx} = 3$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = -\sin(3x + \pi) \cdot 3 = -3\sin(3x+\pi)$

(3) $y = \cos^2 x$ の微分

これも合成関数の微分を利用します。$u = \cos x$ とおくと、$y = u^2$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 2u$

$\frac{du}{dx} = -\sin x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -2\sin x \cos x = -\sin(2x)$

(4) $y = e^{x^2 - 3x + 6}$ の微分

これも合成関数の微分を利用します。$u = x^2 - 3x + 6$ とおくと、$y = e^u$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = e^u$

$\frac{du}{dx} = 2x - 3$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = e^{x^2 - 3x + 6} \cdot (2x - 3) = (2x-3)e^{x^2-3x+6}$

(5) $y = \frac{1}{e^x} = e^{-x}$ の微分

$y = e^{-x}$なので、$u = -x$ とおくと、$y = e^u$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = e^u$

$\frac{du}{dx} = -1$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = e^{-x} \cdot (-1) = -e^{-x} = -\frac{1}{e^x}$

(6) $y = \log_e (5x^2 + 3)$ の微分

これも合成関数の微分を利用します。$u = 5x^2 + 3$ とおくと、$y = \log_e u = \ln u$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$

$\frac{du}{dx} = 10x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{5x^2 + 3} \cdot 10x = \frac{10x}{5x^2+3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = (6x^2+2x)\cos(2x^3+x^2)$

(2) $\frac{dy}{dx} = -3\sin(3x+\pi)$

(3) $\frac{dy}{dx} = -\sin(2x)$

(4) $\frac{dy}{dx} = (2x-3)e^{x^2-3x+6}$

(5) $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{e^x}$

(6) $\frac{dy}{dx} = \frac{10x}{5x^2+3}$