以下の極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 2} 2x^5$ (2) $\lim_{x \to -2} 3x^3$ (3) $\lim_{x \to 5} (x-8)$ (4) $\lim_{x \to 0} \frac{3x^2 - 5x}{x}$ (5) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 2x + 1}{x-1}$ (6) $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 5x + 6}{x-3}$ (7) $\lim_{x \to 2} \sqrt{\frac{x^2 + x - 6}{x-2}}$

1. 問題の内容

以下の極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 2} 2x^5$

(2) $\lim_{x \to -2} 3x^3$

(3) $\lim_{x \to 5} (x-8)$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{3x^2 - 5x}{x}$

(5) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 2x + 1}{x-1}$

(6) $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 5x + 6}{x-3}$

(7) $\lim_{x \to 2} \sqrt{\frac{x^2 + x - 6}{x-2}}$

2. 解き方の手順

(1) $x \to 2$のとき、$2x^5$は連続関数なので、直接代入できます。

$\lim_{x \to 2} 2x^5 = 2 \cdot 2^5 = 2 \cdot 32 = 64$

(2) $x \to -2$のとき、$3x^3$は連続関数なので、直接代入できます。

$\lim_{x \to -2} 3x^3 = 3 \cdot (-2)^3 = 3 \cdot (-8) = -24$

(3) $x \to 5$のとき、$x-8$は連続関数なので、直接代入できます。

$\lim_{x \to 5} (x-8) = 5-8 = -3$

(4) $x \to 0$のとき、$\frac{3x^2 - 5x}{x}$は$\frac{0}{0}$の不定形になるので、式を整理します。

$\lim_{x \to 0} \frac{3x^2 - 5x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x(3x - 5)}{x} = \lim_{x \to 0} (3x - 5)$

$3x-5$は連続関数なので、直接代入できます。

$\lim_{x \to 0} (3x - 5) = 3(0) - 5 = -5$

(5) $x \to 1$のとき、$\frac{x^2 - 2x + 1}{x-1}$は$\frac{0}{0}$の不定形になるので、式を整理します。

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 2x + 1}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)^2}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x-1)$

$x-1$は連続関数なので、直接代入できます。

$\lim_{x \to 1} (x-1) = 1-1 = 0$

(6) $x \to 3$のとき、$\frac{x^2 - 5x + 6}{x-3}$は$\frac{0}{0}$の不定形になるので、式を整理します。

$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 5x + 6}{x-3} = \lim_{x \to 3} \frac{(x-2)(x-3)}{x-3} = \lim_{x \to 3} (x-2)$

$x-2$は連続関数なので、直接代入できます。

$\lim_{x \to 3} (x-2) = 3-2 = 1$

(7) $x \to 2$のとき、$\sqrt{\frac{x^2 + x - 6}{x-2}}$は$\frac{0}{0}$の不定形になるので、式を整理します。

$\lim_{x \to 2} \sqrt{\frac{x^2 + x - 6}{x-2}} = \lim_{x \to 2} \sqrt{\frac{(x-2)(x+3)}{x-2}} = \lim_{x \to 2} \sqrt{x+3}$

$\sqrt{x+3}$は連続関数なので、直接代入できます。

$\lim_{x \to 2} \sqrt{x+3} = \sqrt{2+3} = \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) 64

(2) -24

(3) -3

(4) -5

(5) 0

(6) 1

(7) $\sqrt{5}$