与えられた関数 $y$ を $x$ で微分し、導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。関数は以下の8つです。 (1) $y = -\sqrt{x}$ (2) $y = \sqrt[3]{x}$ (3) $y = \sqrt[4]{x^3}$ (4) $y = \frac{1}{x^3}$ (5) $y = \frac{2}{x^4}$ (6) $y = \frac{1}{x}$ (7) $y = \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$ (8) $y = \frac{1}{x\sqrt{x}}$

はい、承知いたしました。与えられた8つの関数をxで微分します。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y$ を $x$ で微分し、導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。関数は以下の8つです。

(1) $y = -\sqrt{x}$

(2) $y = \sqrt[3]{x}$

(3) $y = \sqrt[4]{x^3}$

(4) $y = \frac{1}{x^3}$

(5) $y = \frac{2}{x^4}$

(6) $y = \frac{1}{x}$

(7) $y = \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$

(8) $y = \frac{1}{x\sqrt{x}}$

2. 解き方の手順

各関数を微分するために、以下の公式を利用します。

* $y = x^n$ のとき、 $\frac{dy}{dx} = nx^{n-1}$

* 合成関数の微分： $\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)$

各関数を微分します。

(1) $y = -\sqrt{x} = -x^{1/2}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = -\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$

(2) $y = \sqrt[3]{x} = x^{1/3}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$

(3) $y = \sqrt[4]{x^3} = x^{3/4}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{4}x^{\frac{3}{4}-1} = \frac{3}{4}x^{-\frac{1}{4}} = \frac{3}{4\sqrt[4]{x}}$

(4) $y = \frac{1}{x^3} = x^{-3}$

$\frac{dy}{dx} = -3x^{-3-1} = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}$

(5) $y = \frac{2}{x^4} = 2x^{-4}$

$\frac{dy}{dx} = 2(-4)x^{-4-1} = -8x^{-5} = -\frac{8}{x^5}$

(6) $y = \frac{1}{x} = x^{-1}$

$\frac{dy}{dx} = -1x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$

(7) $y = \frac{2}{\sqrt[3]{x}} = 2x^{-1/3}$

$\frac{dy}{dx} = 2(-\frac{1}{3})x^{-\frac{1}{3}-1} = -\frac{2}{3}x^{-\frac{4}{3}} = -\frac{2}{3\sqrt[3]{x^4}}$

(8) $y = \frac{1}{x\sqrt{x}} = \frac{1}{x^{3/2}} = x^{-3/2}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{2}x^{-\frac{3}{2}-1} = -\frac{3}{2}x^{-\frac{5}{2}} = -\frac{3}{2x^{5/2}} = -\frac{3}{2x^2\sqrt{x}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{3}{4\sqrt[4]{x}}$

(4) $\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{x^4}$

(5) $\frac{dy}{dx} = -\frac{8}{x^5}$

(6) $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2}$

(7) $\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{3\sqrt[3]{x^4}}$

(8) $\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{2x^2\sqrt{x}}$