$f(x)$ と $g(x)$ は区間 $[a, b]$ で連続な関数である。 $f(a) > g(a)$ かつ $f(b) < g(b)$ であるとき、方程式 $f(x) = g(x)$ は $a < x < b$ の範囲に少なくとも1つの実数解を持つことを示す。

1. 問題の内容

$f(x)$ と $g(x)$ は区間 $[a, b]$ で連続な関数である。

$f(a) > g(a)$ かつ $f(b) < g(b)$ であるとき、方程式 $f(x) = g(x)$ は $a < x < b$ の範囲に少なくとも1つの実数解を持つことを示す。

2. 解き方の手順

まず、新しい関数 $h(x)$ を定義する。

$h(x) = f(x) - g(x)$

$f(x)$ と $g(x)$ は区間 $[a, b]$ で連続なので、$h(x)$ も区間 $[a, b]$ で連続である。

次に、$h(a)$ と $h(b)$ の値を考える。

$h(a) = f(a) - g(a)$

問題の条件より $f(a) > g(a)$ なので、$h(a) > 0$ である。

$h(b) = f(b) - g(b)$

問題の条件より $f(b) < g(b)$ なので、$h(b) < 0$ である。

中間値の定理より、$h(a) > 0$ かつ $h(b) < 0$ であり、$h(x)$ が区間 $[a, b]$ で連続であることから、ある $c$ ($a < c < b$) が存在して、$h(c) = 0$ となる。

$h(c) = f(c) - g(c) = 0$

したがって、$f(c) = g(c)$ である。

これは、方程式 $f(x) = g(x)$ が区間 $(a, b)$ に少なくとも1つの実数解 $c$ を持つことを意味する。

3. 最終的な答え

$f(x) = g(x)$ は $a < x < b$ の範囲に少なくとも1つの実数解を持つ。