方程式 $\sin x + x \cos x + 1 = 0$ が、区間 $0 < x < \pi$ で少なくとも一つの実数解を持つことを示す問題です。

1. 問題の内容

方程式 $\sin x + x \cos x + 1 = 0$ が、区間 $0 < x < \pi$ で少なくとも一つの実数解を持つことを示す問題です。

2. 解き方の手順

中間値の定理を利用します。

関数 $f(x) = \sin x + x \cos x + 1$ を定義します。

$f(x)$ が連続関数であることを確認します。$\sin x$ と $\cos x$ は連続関数であり、$x$ も連続関数なので、$f(x)$ は連続関数です。

次に、区間の端点における $f(x)$ の値を調べます。

$x \to 0$ のとき、$f(x) = \sin x + x \cos x + 1 \to \sin 0 + 0 \cos 0 + 1 = 0 + 0 + 1 = 1 > 0$

$x = \pi$ のとき、$f(\pi) = \sin \pi + \pi \cos \pi + 1 = 0 + \pi(-1) + 1 = 1 - \pi < 0$

$f(0) > 0$ であり、$f(\pi) < 0$ であることから、中間値の定理より、区間 $(0, \pi)$ において $f(x) = 0$ となる $x$ が少なくとも一つ存在します。

3. 最終的な答え

中間値の定理より、方程式 $\sin x + x \cos x + 1 = 0$ は、$0 < x < \pi$ で少なくとも一つの実数解を持つ。