与えられた3つの定積分を計算します。 (1) $\int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^2} dx$ (2) $\int_{-1}^{\sqrt{3}} \sqrt{4-x^2} dx$ (3) $\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx$

1. 問題の内容

与えられた3つの定積分を計算します。

(1) $\int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^2} dx$

(2) $\int_{-1}^{\sqrt{3}} \sqrt{4-x^2} dx$

(3) $\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^2} dx$

$x = \sin \theta$ と置換します。すると、$dx = \cos \theta d\theta$ となります。積分範囲は、$x = -1$ のとき $\theta = -\frac{\pi}{2}$、$x = 1$ のとき $\theta = \frac{\pi}{2}$ となります。

$\int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^2} dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin^2 \theta} \cos \theta d\theta = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta d\theta$

$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ なので、

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta d\theta = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2\theta}{2} d\theta = \left[ \frac{\theta}{2} + \frac{\sin 2\theta}{4} \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{4} + 0 - \left( -\frac{\pi}{4} + 0 \right) = \frac{\pi}{2}$

これは半径1の円の上半分の面積を表しています。

(2) $\int_{-1}^{\sqrt{3}} \sqrt{4-x^2} dx$

$x = 2\sin \theta$ と置換します。すると、$dx = 2\cos \theta d\theta$ となります。積分範囲は、$x = -1$ のとき $\sin \theta = -\frac{1}{2}$ なので $\theta = -\frac{\pi}{6}$、$x = \sqrt{3}$ のとき $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ なので $\theta = \frac{\pi}{3}$ となります。

$\int_{-1}^{\sqrt{3}} \sqrt{4-x^2} dx = \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \sqrt{4-4\sin^2 \theta} (2\cos \theta) d\theta = \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} 2\cos \theta (2\cos \theta) d\theta = 4 \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \cos^2 \theta d\theta$

$4 \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \cos^2 \theta d\theta = 4 \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1 + \cos 2\theta}{2} d\theta = 2 \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (1 + \cos 2\theta) d\theta = 2 \left[ \theta + \frac{\sin 2\theta}{2} \right]_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = 2 \left[ \left( \frac{\pi}{3} + \frac{\sin \frac{2\pi}{3}}{2} \right) - \left( -\frac{\pi}{6} + \frac{\sin (-\frac{\pi}{3})}{2} \right) \right] = 2 \left[ \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{4} \right] = 2 \left[ \frac{\pi}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \right] = \pi + \sqrt{3}$

(3) $\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx$

$x = 2\sin \theta$ と置換します。すると、$dx = 2\cos \theta d\theta$ となります。積分範囲は、$x = 1$ のとき $\sin \theta = \frac{1}{2}$ なので $\theta = \frac{\pi}{6}$、$x = \sqrt{3}$ のとき $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ なので $\theta = \frac{\pi}{3}$ となります。

$\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\sqrt{4-4\sin^2 \theta}} (2\cos \theta) d\theta = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{2\cos \theta}{2\cos \theta} d\theta = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} d\theta = \left[ \theta \right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{2}$

(2) $\pi + \sqrt{3}$

(3) $\frac{\pi}{6}$