定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \sin x \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \sin x \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を2回用います。まず、$u = x^2$、$dv = \sin x \, dx$ とおくと、$du = 2x \, dx$、$v = -\cos x$ となります。したがって、

$$\int x^2 \sin x \, dx = -x^2 \cos x + \int 2x \cos x \, dx$$

次に、$\int 2x \cos x \, dx$ を部分積分で計算します。$u = 2x$、$dv = \cos x \, dx$ とおくと、$du = 2 \, dx$、$v = \sin x$ となります。したがって、

$$\int 2x \cos x \, dx = 2x \sin x - \int 2 \sin x \, dx = 2x \sin x + 2 \cos x + C$$

以上より、

$$\int x^2 \sin x \, dx = -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C$$

したがって、

\begin{align*} \label{eq:1}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \sin x \, dx &= [-x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= \left[ -\left(\frac{\pi}{2}\right)^2 \cos \frac{\pi}{2} + 2\left(\frac{\pi}{2}\right) \sin \frac{\pi}{2} + 2 \cos \frac{\pi}{2} \right] - [-0^2 \cos 0 + 2(0) \sin 0 + 2 \cos 0] \\ &= \left[ -\frac{\pi^2}{4} (0) + \pi (1) + 2 (0) \right] - [0 + 0 + 2(1)] \\ &= \pi - 2\end{align*}

3. 最終的な答え

$\pi - 2$