関数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ と関数 $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ の合成関数 $g \circ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ について、以下の命題が正しいかどうかを判定し、正しければ証明し、正しくない場合は反例を挙げる。 (1) $g \circ f$ が連続関数ならば、$f$ も連続関数である。 (2) $g \circ f$ が連続関数ならば、$g$ も連続関数である。

1. 問題の内容

関数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ と関数 $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ の合成関数 $g \circ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ について、以下の命題が正しいかどうかを判定し、正しければ証明し、正しくない場合は反例を挙げる。

(1) $g \circ f$ が連続関数ならば、$f$ も連続関数である。

(2) $g \circ f$ が連続関数ならば、$g$ も連続関数である。

2. 解き方の手順

(1) $g \circ f$ が連続関数ならば、$f$ も連続関数である。

これは正しくありません。反例を挙げます。

$f(x) = \begin{cases} 0, & x \ne 0 \\ 1, & x = 0 \end{cases}$

$g(x) = \begin{cases} 1, & x = 0 \\ 0, & x \ne 0 \end{cases}$

このとき、$g(f(x)) = 0$ となり、$g \circ f$ は連続関数です。

しかし、$f(x)$ は $x=0$ で連続ではありません。

(2) $g \circ f$ が連続関数ならば、$g$ も連続関数である。

これも正しくありません。反例を挙げます。

$f(x) = 0$ （定数関数）

$g(x) = \begin{cases} 1, & x = 0 \\ 0, & x \ne 0 \end{cases}$

このとき、$g(f(x)) = g(0) = 1$ となり、$g \circ f$ は連続関数です。

しかし、$g(x)$ は $x=0$ で連続ではありません。

3. 最終的な答え

(1) $g \circ f$ が連続関数ならば、$f$ も連続関数である。　**偽**

反例：

$f(x) = \begin{cases} 0, & x \ne 0 \\ 1, & x = 0 \end{cases}$

$g(x) = \begin{cases} 1, & x = 0 \\ 0, & x \ne 0 \end{cases}$

(2) $g \circ f$ が連続関数ならば、$g$ も連続関数である。　**偽**

反例：

$f(x) = 0$

$g(x) = \begin{cases} 1, & x = 0 \\ 0, & x \ne 0 \end{cases}$