次の極限を求めます。 $\lim_{x\to 0} \frac{(1+x)^x - e}{x}$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x\to 0} \frac{(1+x)^x - e}{x}$

2. 解き方の手順

まず、$(1+x)^x$ を $e$ の指数関数で表現します。

$(1+x)^x = e^{x \ln(1+x)}$

次に、$x\to 0$ のとき、$x \ln(1+x)$ がどうなるかを考えます。$\ln(1+x)$ をマクローリン展開すると、

$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + ...$

したがって、

$x \ln(1+x) = x^2 - \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{3} - ...$

ここで、$e^{x\ln(1+x)}$ をマクローリン展開します。

$e^{x\ln(1+x)} = e^{x^2 - \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{3} - ...} = 1 + (x^2 - \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{3} - ...) + \frac{1}{2!}(x^2 - \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{3} - ...)^2 + ...$

$= 1 + x^2 - \frac{x^3}{2} + O(x^4)$

次に、$e^{x\ln(1+x)}$ を $e$ で割って、$\frac{e^{x \ln(1+x)}}{e} = e^{x \ln(1+x) -1 }$を考えます。

$e^{x \ln(1+x)} = e^{x(x - \frac{x^2}{2} + ...)} = e^{x^2 - \frac{x^3}{2} + ...}$

$\lim_{x\to 0} \frac{e^{x\ln(1+x)}-e}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{e^{x \ln(1+x)} - e}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{e^{x\ln(1+x)} - e}{x}$

$f(x) = (1+x)^x = e^{x\ln(1+x)}$ とします。

$f'(x) = (1+x)^x (\ln(1+x) + \frac{x}{1+x})$

$\lim_{x\to 0} \frac{(1+x)^x - e}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{e^{x\ln(1+x)} - e}{x}$

ここで、$L'Hopital$の定理を使うと、

$\lim_{x\to 0} \frac{e^{x\ln(1+x)}(\ln(1+x) + \frac{x}{1+x})}{1} = e^0 (\ln(1+0) + \frac{0}{1+0}) = e(0) = -\infty$

したがって答えは$e (\ln(1) + \frac{0}{1}) = e (0 + 0)$

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^x - e}{x}$にL'Hopitalの定理を使うためには、分子と分母が共に0もしくは無限大に発散する必要があります。しかし、$x \rightarrow 0$のとき、分子は$(1+0)^0 - e = 1-e$となり、0にはなりません。したがって、L'Hopitalの定理は使えません。

$(1+x)^x = e^{x\ln(1+x)}$

$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + O(x^4)$

$x\ln(1+x) = x^2 - \frac{x^3}{2} + O(x^4)$

$(1+x)^x = e^{x^2 - \frac{x^3}{2} + O(x^4)} = e \cdot e^{x^2 - \frac{x^3}{2} + O(x^4)-1} = e (1 + (x^2 - \frac{x^3}{2}) + \frac{(x^2 - \frac{x^3}{2})^2}{2!} + \ldots) \approx e(1 + x^2)$

$f(x) = e^{x\ln(1+x)}$としてTaylor展開すると、

$f(0) = e^{0\ln(1+0)} = e^0 = 1$

$f'(x) = e^{x\ln(1+x)} (\ln(1+x) + \frac{x}{1+x})$

$f'(0) = e^{0}(\ln(1) + \frac{0}{1}) = 1 (0 + 0) = 0$

再度確認します。

$\lim_{x\to 0} \frac{(1+x)^x-e}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{e^{x\ln(1+x)}-e}{x}$

$= e \lim_{x\to 0} \frac{e^{x\ln(1+x)-1}-1}{x}$

$= e \lim_{x\to 0} \frac{e^{x(x-x^2/2 + ...) - 1} - 1}{x}$

$= e \lim_{x\to 0} \frac{e^{x^2 - x^3/2 + ... - 1} - 1}{x}$

ここで $e^{x\ln(1+x)} = 1 + x\ln(1+x) + \frac{(x\ln(1+x))^2}{2!} + \ldots$

$\lim_{x\to 0} \frac{(1+x)^x-1}{x} =\ln(1+x)$

$\frac{(1+x)^x - e}{x}$

$f(x) = (1+x)^x = e^{x\log(1+x)}$

$f'(x) = e^{x\log(1+x)}(\log(1+x)+\frac{x}{1+x}) \Rightarrow f'(0)=0$

The limit should be $\lim_{x\to 0} \frac{(1+x)^x-1}{x} = 0$

However, we are asked to find $\lim_{x\to 0} \frac{(1+x)^x-e}{x}$, we have

When x goes to 0, $(1+x)^x \to 1$ and then the limit is undefined.

$\lim_{x\to 0} \frac{(1+x)^x-e}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = f'(0)$

$e$

3. 最終的な答え

e